简介

达朗贝尔佯谬是流体力学中的一个定理。在流体动力学中，达朗贝尔佯谬（或流体动力学悖论）是法国数学家Jean le Rond d'Alembert在1752年达成的矛盾。达朗贝尔证明 ，对于不可压缩和不粘的潜在流动，在相对于流体以恒定速度运动的身体上，拖曳力为零。零阻力与观察到相对于流体（如空气和水）移动的物体的实质阻力直接相矛盾；特别是对应于高雷诺数的高速度。2这是可逆性悖论的一个特例。

达勒伯特（D'Alembert）致力于柏林学院关于流动阻力的1749年问题，得出结论：“在我看来，在所有可能严格的情况下发展起来的理论（潜在流动）至少在几种情况下给予严格消失抵抗，我利用未来几何单位的奇异悖论来阐明“。一个物理悖论表明了这个理论的缺陷。

因此，流体力学从一开始就被工程师们认可，这导致了一个不幸的分裂 - 水力学领域无法解释的观察现象以及理论流体力学解释不能被观察到的现象。

根据科学共识，悖论的发生是由于忽略了粘度的影响。结合科学实验，19世纪粘性流体摩擦理论取得了巨大进步。对于这个悖论，这导致了路德维希·普兰特（Ludwig Prandtl）在1904年发现和描述薄边界层。即使在雷诺数很高的情况下，薄边界层仍然是粘性力的结果。这些粘性力对流线型物体造成摩擦阻力，而对于非流线型物体，额外的结果是流动分离和物体后面的低压尾流，导致形成阻力。

流体力学界的一般观点是，从实际的角度来看，悖论沿着Prandtl提出的方向解决正如在涉及Navier-Stokes方程（用于描述粘性流动）的许多其他流体流动问题中，缺乏正式的数学证明，并且难以提供。

粘性摩擦解决悖论的第一步是由圣维南（Saint-Venant）制作，他模仿粘性流体的摩擦。圣维南州在1847年：

“但是，如果不是上一世纪几何学计算的理想流体 - 而是使用由有限数量的分子组成的真实流体，并且在运动状态下施加不平等的压力，或者具有与它们作用的表面元素相切的分量的力；我们称之为流体的摩擦的组分，这是自笛卡尔和牛顿直到文丘里曾被给予它们的名称。”

不久之后，在1851年，斯托克斯计算了斯托克斯流动中一个球体的阻力，称为斯托克斯定律斯托克斯流量是描述粘性液体运动的Navier-Stokes方程的低雷诺数极限。

然而，当流量问题被置于无量纲形式时，粘性Navier-Stokes方程收敛以提高雷诺数向非粘性欧拉方程，这表明流动应该趋向于潜在流动理论的非粘性解 - 具有零拖拉达伦贝尔悖论。其中，阻力和流量可视化的实验测量中没有发现任何证据。这再次提出了关于流体力学在19世纪下半叶的适用性的问题。

分离流体在19世纪下半叶，重点转向使用非粘性流动理论来描述流体阻力 - 假设粘度在高雷诺数下变得不那么重要。 Kirchhoff和Rayleigh提出的模型是基于亥姆霍兹自由流线型理论，包括身体后面的稳定的尾迹。应用于尾流区域的假设包括：流速等于体速和恒定压力。这个尾流区域与身体外部的潜在流动分离，并以跨越界面的切向速度的不连续跳跃的涡流片体唤醒。为了在身体上具有非零拖动，尾迹区域必须延伸到无限远。对于垂直于板的Kirchhoff流，这个条件确实满足了。理论正确地说明阻力与速度的平方成比例。首先，理论只能应用于在锋利边缘分离的流动。后来，在1907年，由Levi-Civita延伸到与光滑曲线边界分离的流体3。

众所周知，这种稳定的流动不稳定，因为涡旋片形成所谓的开尔文 - 亥姆霍兹不稳定性但是，这种稳定的流动模型被进一步研究，希望它仍然可以给出合理的阻力估计。瑞利问道：“抵制计算是否会受到这种情况的重大影响，因为所经历的压力必须几乎与在障碍物后部某些距离发生的情况无关，而不稳定将首先开始显现。”

然而，这种方法产生了根本的反对意见：开尔文观察到，如果板材以恒定的速度移动通过流体，尾流中的速度等于板的速度。从理论上获得的距离板的距离的无限大程度导致尾迹中的无限动能，必须在物理基础上被拒绝此外，观察到的板的前后的压力差和所产生的牵引力远远大于预测的：对于垂直于流动的平板，预测的阻力系数为CD = 0.88，而在实验中CD = 2.0被发现。这主要是由于在真实尾流中由不稳定流动引起的板尾部的吸力（与假设恒定流速等于板速度的理论相反）。

因此，这个理论作为对流体中移动物体的阻力的解释，被认为是不能令人满意的。

薄边界层德国物理学家路德维希·普兰特（Ludwig Prandtl）在1904年建议，薄粘性边界层的影响可能是实质阻力的来源普兰特提出了这样的想法，即在高速度和高雷诺数下，防滑边界条件导致在靠近身体壁的薄层上的流速的强烈变化。这导致边界层中动能的涡度和粘性耗散的产生。在无粘性理论中缺乏能量耗散，导致流氓分离中的虚张声势。尾流区域的低压引起形状阻力，这可能大于由于墙壁处的粘性剪切应力引起的摩擦阻力。

证据表明，普朗特尔的情景发生在高雷诺数流动中的虚张声势的身体，可以看出在气缸周围的冲动开始流动。最初的流动类似于潜在的流动，之后流动分离在后部停滞点附近。此后，分离点向上游移动，导致分离流动的低压区域。

普兰特（Prandtl）提出了一个假设，即粘性效应在与固体边界相邻的薄层（称为边界层）中是重要的，而粘度在外部没有重要作用。当粘度降低时，边界层厚度变小。通过非线性Navier-Stokes方程描述的粘性流动的全部问题通常不是数学上可解的。然而，使用他的假设（并通过实验支持），Prandtl能够导出边界层内的流动的近似模型，称为边界层理论;而边界层外的流动可以使用非粘性流理论进行处理。边界层理论适用于匹配渐近扩展的方法，用于导出近似解。在平行于流入的平板的最简单的情况下，边界层理论导致（摩擦）阻力，而所有非粘性流动理论将预测零阻力。重要的是对于航空，Prandtl的理论可以直接应用于流线型的机身，如机翼，除了表面摩擦阻力之外，还有形式拖动。形式拖曳是由于边界层和薄尾迹对翼型周围压力分布的影响。4

稳定势流中零阻力的证明潜在流量达朗贝尔佯谬的三个主要假设是，稳定的流动是不可压缩的，非粘性的和非旋转的。欧拉方程描述了非粘性流体，与其他两个条件一起写为，

其中u表示流体的流速，p表示压力，ρ表示密度，∇表示梯度算子。

我们有欧拉方程式的第二项：

其中第一个等式是向量微积分的身份，而第二个等式使用该流是非旋转的。 此外，对于每个非旋转流，存在速度势φ，使得u =∇φ。 将这一切代入动量守恒产量的方程式,

因此，括号之间的数量必须是常数（通过重新定义φ可以消除任何t依赖性）。假设流体在无穷远处静止，并且压力被定义为零，则该常数为零，因此，

这是非稳态势流的伯努利方程。

零拖现在，假设身体以恒定速度v通过静止无限远的流体移动。 那么流体的速度场必须跟随身体，所以它是u（x，t）= u（x-v t，0）的形式，其中x是空间坐标向量，因此：1

由于u =∇φ，这可以相对于x集成：

流体对身体施加的力F由表面积分给出，

其中A表示身体表面，n表示身体表面上的法线矢量。 但从上述公式可以看出，

因此，

其中R（t）对积分的贡献等于零。

在这一点上，在向量组件中工作变得更加方便。 这个方程的第k个部分写为，

令V为流体占据的体积。由 分歧定理可得，

右侧是无限量的积分，所以这需要一些理由，这可以通过吸引潜在的理论来提供，以表明速度u必须脱离为对应于偶极子场的r-3 的有限度的三维体 - 其中r是到身体中心的距离。 体积积分中的被积函数可以重写如下：

其中利用上述等式， 再次将其代入体积积分和发散定理，

流体不能穿透身体，因此n·u = n·v在身体表面。 从而，

最后，拖拽是使物体移动方向的力，

因此拖曳消失，这便是达朗贝尔佯谬。