数学上，切触几何(英语：Contact geometry)是研究流形上的完全不可积超平面的几何。根据弗洛比尼斯定理，这个（大致来讲）可以通过叶状结构的不成立来识别。作为它的姐妹，辛几何属于偶数维的世界，而切触几何是奇数维的对应几何。

历史切触几何的根源出现于克里斯蒂安·惠更斯、Barrow和牛顿的著作中。切触变换的理论（也即保持一个切触结构的变换)是索甫斯·李发展的，其目的是双重的，包括研究微分方程（例如勒让德变换）和表述射影对偶性中常见的'空间元素的变换。

定义数学上，切触几何是研究奇数维流形上的完全不可积超平面的几何。根据弗洛比尼斯定理，这个（大致来讲）可以通过叶层结构的不成立来识别。作为它的姐妹，辛几何属于偶数维的世界，而切触几何是奇数维的对应几何。1

Reeb向量场若α是一个给定切触结构的切触形式，Reeb向量场R可以定义维dα的核的唯一满足α(R)=1的元素。其动力学可以用于研究切触流形的结构甚或用诸如辛场论和嵌入切触同调这类的Floer同调来研究流形本身。

形式和结构一个切触形式α在2n+1维流形M上就是一个（局部）1-流形，具有属性

一个切触结构ξ在一个流形上就是一个切触形式α的核，也就是，一个完全不可积超平面场。大致来讲，这表示你无法在一个开集上找到和ξ相切的一片超曲面。

从定义可以导出dα限制到ξ上时是非退化的。这表示ξ是一个该流形上的辛丛。因为辛空间是偶数维的，切触流形必须是奇数维的。

流形和纽结切触流形最有意思的子空间是它的勒让德子流形。在(2n+1)-维流形上的切触超平面场的不可积性意味着没有2n-维子流形可以将它作为它的切丛，局部的都不行。但是，通常可以找到一个n-维（嵌入或者浸入）子流形，其切空间位于切触场内。勒让德子流形和辛流形的拉格朗日子流形类似。它们之间有一个精确的关系：勒让德子流形在切触流形的辛化中的提升是一个拉格朗日子流形。 勒让德子流形的最简单的例子是在一个切触三维流形中的勒让德纽结。不等价的勒让德纽结可能作为光滑纽结是等价的。2

勒让德子流形是很刚性的对象；在一些情况下，子流形为了成为勒让德子流形而必须解开纽结。辛场论提供勒称为切触同调的勒让德子流形的不变量，它们有时可以用于区分拓扑等价的勒让德子流形。

应用切触几何和辛几何一样在物理学中有广泛的应用，例如，几何光学、经典力学、热力学、几何量子化、以及诸如控制论这样的应用数学。它也可以用于证明有趣的事情，例如‘你总是可以平泊你的汽车，只要空间足够大’。切触几何在低维拓扑中有很多应用；一个这种相关性的表现就是每个三维流形都有切触结构。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学