定义

设 是域P上的一个n次多项式，若在P上存在次数小于n的非常数多项式 与 ，使 = ，则 称为域P上的可约多项式，简称在P上可约；否则 称为P上的可约多项式，或称为P上的既约多项式，简称在P上可约。一元多项式的可约概念亦可推广到n元多项式。

判定定理1若n次整数多项式 在有理数域Q上可约，则 在整数环Z上一定可约。1

定理2爱森斯坦判别法：设是整系数多项式，若有一个素数p使得：

（1）p不能整除a

（2）p整除

（3）不能整除

那么在有理数域上不可约。

定理3爱森斯坦判别法的等价判别定理：设是整系数多项式，若有一个素数p使得：

（1）p不能整除

（2）p整除

（3）不能整除

那么f(x)在有理数域上不可约。

注：定理1和定理2 都只是判定整系数多项式在有理数域上不可约的充分不必要条件， 这就是说不满足定理1和定理2的判定条件的多项式也可能是不可约的。1

性质可约多项式，顾名思义即能写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式。

有理系数的多项式，当能分解为两个次数大于零的有理系灵敏多项式的乘积时，称为有理数范围内“可约多项式”。相应地可以定义实数系数或复数系数的可约多项式。

“可约”的意义随系数范围而不同。在有理数范围内是可约多项式，但在实数范围内就是不可约多项式了。

对于数域P上的任意多项式f(x),P中非零数c与f(x)总是f(x)的因式.这两种因式称为f(x)的平凡因式，亦称当然因式.其他的因式，称为f(x)的非平凡因式，亦称非当然因式.设p(x)为P上的一个次数大于零的多项式，如果在P上p(x)只有平凡因式，则称p(x)在P上（或P{x}中）可约，亦称p(x)是P上的可约多项式，或既约多项式;如果p(x)除平凡因式外，在P上还有其他因式，则称p(x)在P上（或在P{x]中）可约，亦称p(x)是P上的可约多项式一个多项式是否可约，与其基域有关.

一种重要的多项式。它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。对于数域P上的任意多项式f(x)，P中非零数c与cf(x)总是f(x)的因式。这两种因式称为f(x)的平凡因式，亦称当然因式。其他的因式，称为f(x)的非平凡因式，亦称非当然因式。设p(x)为P上的一个次数大于零的多项式，如果在P上p(x)只有平凡因式，则称p(x)在P上（或P[x]中）可约，亦称p(x)是P上的可约多项式，或既约多项式;如果p(x)除平凡因式外，在P上还有其他因式，则称p(x)在P上（或在P[x]中）可约，亦称p(x)是P上的可约多项式。一个多项式是否可约，与其基域有关。例如，x-2在有理数域上可约，但在实数域上可约，因为此时它有非平凡因式x+与x-。1

相关可约的概念渗透到数学的各个分支， 它在不同的分支中有不同的表现形式。与可约概念相对的就是不可约。

在数论中，一个整数被称为可约的， 如果它可以被1和其本身以外的正整数整除。 这样的数叫做合数。 不是合数的数叫做素数或质数。

在环论中， 一个元素称为可约的， 如果它落在某个主理想中， 并且它不能生成这个理想。 不可约元 不一定是素元 。

特别在给定域上的多项式环中， 一个多项式称为可约的， 如果它可以分解成一些次数更小的多项式之积。不满足此条件的多项式叫做不可约多项式。

在几何中，如果一个几何物体在一定条件下分解成一些"较小"的几何物体的并集， 就称它为可约的。

比如在代数几何中， 一个代数簇称为可约的， 如果它是一些代数簇的并集。

特别的， 一条曲线 （代数曲线）称为可约的， 如果它是由一些曲线共同组成的。任何曲线都可以仅分解成一些不可约曲线 的并。 这些不可约曲线的个数， 成为它的第二贝蒂数 （Betti）。

在拓扑里， 不连通 集必定是可约的。

所有这些可约的定义都是一致的、相容的。 它只不过是用不同的语言来描述而已。

在数学中，多项式是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算（非负整数次方）得到的表达式。

对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。0作为多项式时，次数定义为负无穷大（或0）。单项式和多项式统称为整式。2