线性流形(linear manifold)是几何学中的常用概念，即Pn中的直线，二维平面，三维平面，…，n-1维平面的统称。设A是线性空间R中的真子集，若对x,x'∈A，θ,θ'∈K，θ+θ'=1，必有θx+θ'x'∈A，就称A是线性流形。设M是R中的线性子空间，x0是R中一点，则集M+x0是一线性流形；反之，每一线性流形可表成M+x0的形式。 线性流形表示式A=M+x0中的子空间M，称做A的平行子空间。若两个线性流形A和B具有相同的平行子空间，就说A和B相互平行。以经0点的直线L0作为平行子空间的线性流形L叫做直线， 以经0点的超平面P0作为平行子空间的线性流形P叫做超平面。两个相互平行的线性流形必或是重合，或是不相交。线性空间中的线性流形是平行子空间的一个平移，而超平面是全空间中的最大线性流形。当人们想把整个空间划分成各个区域时，应用超平面的概念，将使其几何形象特别鲜明1。

基本介绍所谓线性空间V的线性流形，即为

其中 是 的子空间， 是V的固定向量，且 的维数称为线性流形P的维数，一维线性流形称为直线，二维线性流形称为平面，更高维的线性流形称为超平面2。

相关性质定理1 设 是 的任意 个向量，且 ，则形如

的所有向量组成一个维数等于向量组 的秩的线性流形P。

定理2 是V的子空间，而 ，则 相等的充要条件是。

由线性流形定义的关系式 或 可看出，线性流形P是从线性子空间平行移动一个向量 所得，而定理2则说明，用平行移动得到所给流形P的那个线性空间 是唯一确定的。

定理3 中任意两条直线包含在某个三维线性流形中。

定理4 空间 的两条直线 和 位于一个平面内的充要条件是 线性相关。

推论1 两条直线 和 穿过一点但不重合的充要条件是 线性无关，而 可用 线性表出。

定理5 空间 的两个维数分别为k和h的线性流形P和Q包含在一个维数 的线性流形中。

定理6 如果空间 的两个维数分别为k和h的线性流形P和Q有一个公共向量 ，则 是一个维数 的线性流形2。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学