概念

直积映射是一种特殊的映射。即由若干个映射导出的，定义在它们的定义域的直积上的映射。设fi：Ai→Bi(i=1，2)是映射。定义映射g：A1×A2→B1×B2，使〈a1，a2〉∈A1×A2时，g(〈a1，a2〉)=〈f1(a1)，f2(a2)〉，g称为映射f1与f2的直积映射。记为g=f1×f2。一般地，设{fm：Am→Bm}m∈M为映射族，可定义映射：

当

时，

g称为{fm}m∈M的直积映射。记为：

映射设A与B是两个集合，如果对于A中的每一个元素a，在某个对应规则T的作用下，总有B中的一个，且只有一个b和这个a对应，就称T是A到B中的映射(有时限于A=B的情况)，并称b是a在映射T作用下的映像或像，而称a是b的一个原像。如果A的不同元素有不同的像，并且B中每一个元素都有原像，则称此映射为A到B上的一一映射(即一一映射)

“map”的原意是地图。人们是从地图制图学中的球极投影，引出映射概念的。

亦称函数。数学的基本概念之一。也是一种特殊的关系。设G是从X到Y的关系，G的定义域D(G)为X，且对任何x∈X都有惟一的y∈Y满足G(x，y)，则称G为从X到Y的映射。即关系G为映射时，应满足下列两个条件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z)。这个被x∈X所惟一确定的y∈Y，通常表示为y=f(x)(x∈X).f(x)满足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

关系G常使用另一些记号：f：X→Y或XY。f与G的关系是y=f(x)(x∈X)，当且仅当G(x，y)成立。可取变域X中的不同元素为值的变元称为自变元或自变量。同样可取变域Y中的不同元素为值的变元称为因变元或因变量。始集X称为映射f的定义域。记为D(f)或dom(f).终集Y称为映射的陪域，记为C(f)或codom(f)。Y中与X中的元素有关系G的元素的组合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}称为映射的值域，记为R(f)或ran(f)。当y=f(x)时，y称为x的象，而x称为y的原象.y的所有原象所成之集用f(y)表示。对于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}称为A的象。记为f(A)。.对于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}称为B的原象。记为f(B)。显然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。

直积直积又叫笛卡尔（Descartes）乘积。设( G1，* )、( G2，· )是两个群，有各自的乘法 *、· 和各自的单位元e、l，分别从G1和G2中任取一个元素组成所有可能的有序对，组成的集合记作G1×G2，在上面定义一个运算◎，对于G1×G2中任意两个元素(a1,B1)、(a2,B2)，规定(a1,B1) (a2,B2)=(a1 * a2,B1 · B2)，这叫做G1和G2的直积，记作{ G1×G2, ◎ }，单位元是(e,l)。

设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。

例如，R×R =〡(x,y)〡x∈R,y∈R〡即为xOy面上全体点的集合，R×R常常记作R²。2

关系集合AB的元素个数为m、n，那么，从集合A到集合B的映射的个数为n的m次。

函数和映射，满映射和单映射的区别。

函数是数集到数集映射，并且这个映射是“满”的。

即满映射f: A→B是一个函数，其中原像集A称做函数的定义域，像集B称做函数的值域。

“数集”就是数字的集合，可以是整数、有理数、实数、复数或是它们的一部分等等。

“映射”是比函数更广泛一些的数学概念，它就是一个集合到另一个集合的一种确定的对应关系。即，若f是集合A到集合B的一个映射，那么对A中的任何一个元素a，集合B中都存在唯一的元素b与a对应。我们称a是原像，b是像。写作f: A→B，元素关系就是b = f(a).

一个映射f: A→B称作“满”的，就是说对B中所有的元素，都存在A中的原象。

在函数的定义中不要求是满射，就是说值域应该是B的子集。（这个定义来源于一般中学中的讲法，实际上许多数学书上并不一定定义函数是满射。）

象集中每个元素都有原象的映射称为满射 ：

即B中的任意一元素y都是A中的像，则称f为A到B上的满射，强调f(A)=B（B的原象可以多个）

原象集中不同元素的象不同的映射称为单射 ：

若A中任意两个不同元素x1≠x2,它们的像f(x1)≠f(x2)，则称f为A到B的单射，强调f(A)是B的子集

单射和满射可共同决定为一一双射。3