概念

对合变换(involutory transformation)一种特殊的幂幺变换。数域P上的n维向量空间V的一个线性变换称为对和变换，如果，为单位变换。对合变换的特征值只能是1或-1，且⨁，其中是的属于特征值1的特征子空间，是的属于特征值-1的特征子空间。

幂幺变换幂幺变换是一种特殊的可逆线性变换。设V是数域P上的线性空间，σ是V的线性变换。若存在自然数m，使σm=I，σm-1≠I，I为单位变换，则σ称为幂幺变换，m称为幂幺指数。一个线性变换是幂幺变换，当且仅当它的特征多项式的根是m个m次单位根。1

线性变换线性代数的重要概念之一。设σ是数域P上的线性空间V的一个变换。若对于V中的任意向量α，β与P中的任意数k，有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，则称σ是V的一个线性变换。设σ是线性空间V的一个变换，若对于V中任意向量α，有σ(α)=α，则σ是V的线性变换，称为恒等变换，亦称单位变换，记为I。若V的变换σ对于V中的任意向量α，有σ(α)=0，则σ是V的线性变换，称为零变换，记为0.线性变换是欧氏几何中的变换、解析几何中的某些坐标变换、数学分析中的某些变量代换以及其他数学分支中某些类似的变换的抽象、概括与推广。数域上线性空间的线性变换可以推广为同一个域上的两个不同线性空间的线性映射。线性变换不仅是线性代数的主要研究对象之一，也是数学中的一个重要的概念。近代数学中的许多分支的研究对象，如泛函分析中的线性算子。同调代数中的模同态等都与线性变换有密切的联系。

可逆线性变换可逆线性变换亦称非退化线性变换，或满秩线性变换。一种特殊的线性变换。设V是数域P上的线性空间，σ是V的线性变换。若存在V的变换τ，使στ=τσ=I，其中I为单位变换，则σ称为可逆线性变换，τ称为σ的逆变换。V上的可逆线性变换σ的逆变换仍为V的线性变换，且是惟一的，记为σ.线性空间的可逆线性变换的集合，对于变换的乘法构成乘法群，称为非奇异线性变换群。

线性空间亦称向量空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域。若：

1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。2

3.加法与纯量乘法满足以下条件：

1) α+β=β+α，对任意α，β∈V。

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V。

3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元。

4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α。

5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V)。

6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα)。

7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα。

8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间.V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域.当P是实数域时，V称为实线性空间。当P是复数域时，V称为复线性空间。例如，若V为三维几何空间中全体向量(有向线段)构成的集合，P为实数域R，则V关于向量加法(即平行四边形法则)和数与向量的乘法构成实数域R上的线性空间。又如，若V为数域P上全体m×n矩阵组成的集合Mmn(P)，V的加法与纯量乘法分别为矩阵的加法和数与矩阵的乘法，则Mmn(P)是数域P上的线性空间。V中向量就是m×n矩阵。再如，域P上所有n元向量(a1，a2，…，an)构成的集合P对于加法：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)与纯量乘法：λ(a1，a2，…，an)=(λa1，λa2，…，λan)构成域P上的线性空间，称为域P上n元向量空间。

特征值矩阵特征值概念的推广，是由算子决定的一些复数。设T是线性空间X上的算子，λ是复数。如果X中有非零向量x，使Tx=λx，则称λ为T的特征值(或本征值)，而x称为相应于λ的特征向量(或本征向量)。当T是线性算子时，相应于特征值λ的特征向量再加上零向量构成线性子空间，记为Eλ，称Eλ为相应于λ的特征子空间。Eλ的维数称为特征值λ的重复度。对有限维空间，求矩阵的特征值以及与它相应的线性方程组的求解问题在线性代数中已经完全解决。当空间是无限维时，问题变得复杂得多。

特征子空间一类重要的子空间。即对应于线性变换的一特征值的子空间。设V是域P上的线性空间，σ是V的一个线性变换，σ的对应于特征值λ0的全体特征向量与零向量所成的集合，对于V的加法及数量乘法构成V的子空间，称为σ的对应于特征值λ0的特征子空间，记为Vλ0。若Lλ0={ξ∈V|对某s>0，(σ-λ0E)ξ=0，E为恒等变换}，则Lλ0是V的子空间，称为σ对应于λ0的广义特征子空间(或根子空间)。当V为n维线性空间，且σ的特征多项式f(λ)的全部不同的根λ1，λ2，…，λr皆属于P时，则V是对应于λi(i=1，2，…，r)的广义特征子空间的直和。3