研究历程

波兰数学家巴拿赫(S.Banach)和波兰数学家库拉托夫斯基(K.Kuratowski)于1920年证明了：若则在连续统上不存在(可数可加)测度，因而，可测基数的存在性不是简单的问题。研究可测基数，肇始于1930年的巴拿赫等人。两种可测基数之间有如下关系：首先，由定义可直接可得，二值可测基数必是实值可测基数。其次，美国数学家乌拉姆(S.M.Ulam)于1930年证明了，每个实值可测基数要么要么是二值可测基数。于是可推知，在广义连续统假设下，实值可测基数与二值可测基数相同。

利用以色列学者索洛韦(R.M.Solovay)于1971年的结果可以证明，实值可测基数κ必是弱马赫罗基数，且小于κ的弱马赫罗基数组成κ的驻子集，乌拉姆早在1930年就证明了最小的可测基数≥最小的不可达基数。大约1960年，开斯勒(H.J.Keisler)和波兰学者塔尔斯基(A.Tarski)引入超积方法研究可测基数，证明了最小的可测基数比最小的不可达基数要大。另外，由于二值可测基数有树性质，于是得知，二值可测基数必是弱紧基数，若假设“存在二值可测基数”的大基数公理成立，则有如下这些关于可构造公理与广义连续统假设的结论：斯科特(D.S.Scott)于1961年用超幂方法证明了，若存在可测基数，则V≠L，即可构造公理不成立；罗伯托姆(F.Rowbottom)的下述结论更指出了大量的子集是不可构造的：若存在可测基数κ，则对每个满足ω≤λ是κ-C(或κ-2)可测基数，则称κ是实值可测(或二值可测)基数，两者合称为可测基数。

定义 设S是一无穷集，是单位闭区间，函数满足下列性质：

(i)；

(ii) 如果，则有；

(iii) 对所有，有；

(iv) 如果是两两不交的，则

则称是S上的一个非平凡的、可加实值测度。其中(iii)表示其非平凡性，(iv)表示其可加(即可数可加)性。若μ只取0，1二值，则称是S上的二值测度。

设μ是S上一二值测度，令

则U是S上的非主完全的超滤，反之，若U是S上完全的超滤。函数定义如下：

则μ又是S上的二值测度。

一般地，我们可以证明：如果μ是集S上的二值测度，则μ是κ-可加的充要条件为U是κ-完全的。

由于S上的κ-完全超滤和S上的κ-可加测度之间的这种内在联系，所以也把****超滤说成为测度。

研究实值可测基数，也是大基数研究中一个子课题，这里省略3。

相关性质定理引理S上的超滤U是κ-完全的充要条件为不存在S的r