概念介绍

洛伦茨群(Lorentz group)是一类重要的典型群。实数域上使二次型：不变的所有n×n实可逆方阵所成的群称为符号差为(r，n-r)的洛伦茨群。符号差为(3，1)的洛伦茨群在狭义相对论中起着重要的作用。2

群群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：3

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

典型群典型群是一类重要的群。一般线性群、酉群、辛群、正交群，以及它们的换位子群、对中心的商群等统称为典型群。实数域和复数域上的典型群是李群的重要例子，它们的构造及表示在李群理论、几何学、多复变函数论以至物理学中都起着重要作用.迪克森(Dickson，L.E.)通过对有限域上典型群的构造的研究得到了一大批有限单群。这是继交错群之后人们发现的又一批重要的有限单群系列.经过谢瓦莱(Chevalley，C.)的工作进一步扩展为有限李型单群的系列后，为有限单群分类的最后完成奠定了一个重要基础。迪厄多内(Dieudonné，J.)将迪克森的工作加以推广，通过研究任意体上的典型群的构造也得到了大量的单群。迪厄多内、施赖埃尔(Schreier，O.)、范·德·瓦尔登(Van der Waerden，B.L.)、华罗庚、万哲先等对研究典型群的构造、自同构及同构作出了重要贡献。

相关概念酉群酉群是一类重要的典型群。在复数域的特殊情形，全体n×n酉方阵在矩阵乘法下构成的群称为n次酉群，记为U(n)。一般地，设K是带有对合J：a→a-的体，V是K上n维列向量空间，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，这里H∈GLn(K)且=εH，ε=±1。若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)对所有的x，y∈V成立，则称A是关于f的酉变换。关于f的全体酉变换组成GL(V)的一个子群，称为关于f的酉群，记为Un(K，f)。从矩阵的观点看，Un(K，f)={A∈GLn(K)|HA=H}。当f是交错双线性型时Un(K，f)就是辛群Spn(K，f);当K的特征≠2且f是对称双线性型时Un(K，f)就是正交群On(K，f)；当K是复数域，J是复共轭，H=I时，酉群Un(K，f)就是酉群U(n)。4

辛群辛群是一类重要的群。辛空间的自同构群。设(V，ω)是一辛空间，若φ：V→V是线性同构且满足ω(φX，φY)=ω(X，Y)，X，Y∈V，则称φ为(V，ω)的一个自同构。(V，ω)的自同构全体构成群GL(V)的一个子群，记为SP(V，ω)。特别地，标准辛空间(K，ω)的自同构群记为Sp(2n，K).若K=R(实数域)，则把Sp(2n，K)简记为Sp(2n)并称它为2n维辛群。

正交群正交群是一类重要的典型群。在实数域的特殊情形，全体n×n正交方阵在矩阵乘法下构成的群称为n次正交群，记为O(n)。一般地，设V是域K上n维列向量空间，Q(x)=xAx是V上的非退化二次型(A是K上某个n×n矩阵)，若g∈GL(V)使Q(gx)=Q(x)对所有的x∈V成立，则称g是关于Q的正交变换。关于Q的全体正交变换在映射乘法下构成一个群，称为关于Q的正交群，记为On(K，Q)。当K的特征≠2时，V上每个非退化对称双线性型f也决定一个正交群。

人物简介洛伦兹是荷兰人，近代卓越的理论物理学家，经典电子论的创立者。因研究磁场对辐射现象的影响而获1902年诺贝尔物理学奖金。1853年7月18日生于阿纳姆，22岁在莱顿大学获博士学位。他确定了电子在电磁场中所受的力(洛伦兹力)，并预言了正常的塞曼效应。为了解释迈克耳孙——莫苗实验的结果，提出了在以太中运动的物体在运动方向上缩短的假说，因而爱尔兰物理学家菲茨杰拉德同时提出，称为“洛伦兹-菲茨拉德收缩”，并在以太学说的基础上提出高速运动的参考录与静止参考系之间时间、空间坐标的变换形式，后来称为“洛伦兹变换”，这些工作与相对论的建立密切有关，他的重要著作是《电子论和它在光现象以及垫辐射中的应用》。1928年2月4日，洛伦兹在荷兰的哈勒姆逝世，时年74岁。

应用领域狭义相对论是相对论的一部分。由德国物理学家A·爱因斯坦于1905年提出。基本原理有两条;(1)狭义相对性原理。即在任何惯性参考系中，自然规律都相同，不存在一种特殊的惯性参考系；或者说，在相对作匀速直线运动的所有惯性系内，一切物理现象的进行都是相同的，描述自然过程的物理学规律不随参考系而变化；或者还可以换一种说法，在任何惯性系中所作的任何物理实验，都无法判断该惯性系是静止的还是匀速直线运动的。(2)光速不变原理。即在任何惯性系中，真空中的光速C在各个方向都相同，与光源和测光者的运动状态(速度和方向)都无关;或者说，在所有惯性系内，自由空间中光的速率具有相同的值C。由此得出，时间和空间向量从一个惯性系变换到另一个惯性系时，应满足洛仑兹变换，而不是满足伽利略变换。由这一点可导出许多结论：不同地点发生的两件事是否“同时”，在以恒定速度作相对运动的不同惯性系看来，是不相同的，这就是所谓“同时相对”效应；物体长度的度量是相对的，即运动物体在其运动方向上的长度要比静止时缩短，这是所谓“动尺缩短”效应；时间的度量也是相对的，即运动的时钟比静止的时钟走得慢，此即所谓“动钟变慢”；物质的质量是相对的，会随着物质运动的速度增加而增加，等等。狭义相对论的这些结论，首次从物理学上揭示了时间空间同物质运动的紧密联系。但是，这些结论仅适用于惯性系，而真正的、非近似的惯性系实际上并不存在;还有，这些结论乃是观测效应，对于两个作相对运动的惯性系来说，都会说对方惯性系中的钟变慢了、尺缩短了，等等，而不可能承认自己这个惯性系中的钟变慢了，等等，从而不可能得出双方公认的结论。把观测效应的结论，变成有实际意义的结论，是广义相对论完成的。5