正交几何(orthogonal geometry)是一种向量空间的几何，即关于非退化对称双线性型的向量空间的研究。这里的对称双线性型B是指对任意向量x，y有B(x，y)=B(y，x)的双线性型。对有限维空间中取定的一组基{e1，e2，…，en}，当基域的特征不为2时，对称双线性型B的矩阵S=(B(ei，ej))满足S′=S，即为对称矩阵。

概念正交几何是一种向量空间的几何，即关于非退化对称双线性型的向量空间的研究。这里的对称双线性型B是指对任意向量x，y有B(x，y)=B(y，x)的双线性型。对有限维空间中取定的一组基{e1，e2，…，en}，当基域的特征不为2时，对称双线性型B的矩阵S=(B(ei，ej))满足S′=S，即为对称矩阵。设P是Vn(Fq)的m维子空间，代表该子空间的一个秩为m的m×n矩阵也用P表示。当q为奇数且S为非奇异对称矩阵时，若PSP′=0，则称P为全迷向子空间；若PSP′非奇异，则称P为非迷向子空间。利用正交几何中不同类型的子空间，可以构作结合方案及PBIBD设计。例如，当n≥4时取奇数特征有限域上n维正交几何中1维迷向子空间的全体作为处理的集合，两个1维迷向子空间，若生成一个2维全迷向子空间，则规定它们有第一种结合关系，否则它们有第二种结合关系，这样便得到一个结合方案。利用该结合方案可构作PBIBD设计，比如取m维作迷向子空间作为区组，并规定关联关系由子空间之间的包含关系决定。1

几何学研究图形性质的一门数学分支。

“geometry”来自拉丁文geometria，原意是土地测量。古埃及的几何学，起源于尼罗河泛滥后对土地所进行的重新测量。古巴比伦人已经知道了一些图形面积与体积的求法;还知道圆周长与直径的比为定值。

古希腊的欧几里得，把前人的几何知识(几何证明与抽象概念等)系统化，整理成严密的演绎系统，写出了《几何原本》。这本书问世后，几何学在数学中曾长期占主导地位。直到17世纪初，代数学得到发展以后，几何学在数学中所处的主导地位才被代数学取代。而用代数方法研究几何问题，又导致了解析几何学的产生。在18、19世纪，由于力学、工程、测量等方面的需要，产生了画法几何学、射影几何学和微分几何学。而对欧氏第五公设的研究、又导致非欧几何学的产生。几何学的各个分支，可以定义为研究特定图形在特定的变换下的不变性质。

我国在很早就已出现论证几何学的萌芽。在公元前5世纪墨子所著的《墨经》中，有丰富且严谨的几何方面的论述。其中所涉及的几何内容，与欧几里得的《几何原本》大致相同，而且其中的定义，与现行中学几何教科书基本相同。此外，其中还有一系列理论性的命题，反映出墨家重视抽象性及逻辑严密性的新思想和新尝试。可惜，后来未能形成为严密的演绎体系。

20世纪以来，由于现代物理、现代工程技术的发展，又促进了微分几何学与计算几何学的发展。在现代，几何学泛指对由公理所规定性质之集合进行研究的学科。皮亚诺与希尔伯特，对欧氏几何学的现代化起过重要的作用。

“几何”是《几何原本》1607年的中译本中开始使用的译名，它的原意指“多少”或“大小”。“几何”是意译，并不是音意并译。

向量空间设K为交换体，称赋以由下列两个给定法则所定义的代数结构的集合E为K上的向量空间：

——记为加法的合成法则，

——记为乘法的作用法则，即从K×E到E中的映射，

这两个法则满足下列条件：

a)赋以加法的集合E是交换群;

b) 对K的任一元素偶(α，β)，以及对E的任一元素x，α(βx)=(αβ)x;

c) 对E的任一向量x，1x=x，其中1表示体K的单位元素;

d)对K的任一元素偶(α，β)，以及对E的任一元素偶(x，y)，

(α+β)x=αx+βx

α(x+y)=αx+αy.

当体K不再假定为交换的时，满足上述条件的集合E称为K上的左向量空间。

如果条件α(βx)=(αβ)x换为α(βx)=(βα)x，则称E为K上的右向量空间。2

对称双线性型对称双线性型(symmetric bilinear form)是线性空间V上的双线性型f(α，β)，如满足：对所有α，β∈V，都有f(α，β)=f(β，α)，则称f(α，β)为对称双线性型。在V中取定一个基ε1，ε2，…，εn，令α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn，则f(α，α)为关于变数组x1，x2，...，xn的二次型。数域P上任一二次型都可用此法由对称双线性型得出。

定义1设f是V上的双线性型，若对V中任意向量X、Y有，则称f是V上的对称双线性型。

明显地，f是对称双线性型的充要条件是，f的矩阵是对称的。

定义2设f是V上的双线性型，若对V中任意向量X，Y有，则称f是V上的反对称双线性型。

同样有，f是反对称双线性型的充要条件是，f的矩阵是反对称的。显然，V上的一个任意的双线性型都可以表示成对称的和反对称的双线性型的和，而且，这种表示法是惟一的。3

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王海侠 - 副教授 - 南京理工大学