概念

可除模(divisible module)是一类重要的模。可除阿贝尔群的推广。若M是A模，对任意m∈M，和任意非零因子a∈A，总有m′∈M，使得m=am′，则称m为可除元。若M的元全都是可除元，则称M为可除模。内射模一定是可除模，反之不一定成立。当环A是戴德金环时，可除模也是内射模。

模模是一个重要的代数系统。它是一个带算子区A的交换(加)群M。给定集合A与交换群M，若定义了a∈A与x∈M的乘积ax∈M，并且这个积满足条件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

则称A为M的算子区，称M为带算子区A的模，又称为A上的模或A模.这时，由对应(a，x)→ax确定的映射A×M→M，称为A作用到M上的运算。任意a∈A可诱导出M的自同态aM：x→ax，而考虑交换群M能否成为A模就是看能否给出映射

μ： A→End(M)， a→aM.

特别地，考虑A是结合环，若满足上述条件1的A模还满足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)为环同态，则称M为左A模或左环模。由于A到M上的运算是写在左侧，所以M就称为左A模，记为AM。类似地，有右A模M，记为MA.若A有单位元1，且又满足条件

4.1x=x (x∈M);

则称M为酉模或幺模，以下设A模都是酉模。

模论模论是抽象代数学的重要组成部分之一，主要研究环上的模。模的概念本质上是域上向量空间的直接推广。早在19世纪，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)就曾经考虑过多项式环上的模，20世纪20年代，诺特(Noether，E.)曾一再提出过模的重要作用。交换环上的模在代数几何中有重要作用，非交换环特别是群环上的模就是群的线性表示，域上的模就是向量空间。到了20世纪40年代，由于环论的需要和同调代数的兴起，模论得到了进一步发展。近30年来，已成为同调代数、群论、环论、代数K理论、范畴论等分支学科研究中不可缺少的工具，并在其他数学分支，如代数几何、拓扑学、泛函分析甚至微分方程等领域里得到了较广泛的应用。现代模论已成为内容丰富、文献浩繁的代数学的一个独立分支。2

内射模内射模是投射模的对偶概念。设Q是左A模，若函子HomA(-，Q)正合，则称模Q为内射模；这等价于：对每个单同态f：K→M，及每个同态r：K→Q，一定有同态r-：M→Q，使得r-°f=r成立。对任意模M，一定存在内射模E，使得M是E的子模。若E是左A内射模，且E是左A模M的子模，则E是M的直和因子。若A是环，则存在充分多的左A内射模，例如，若Q是可除阿贝尔群，则HomZ(A，Q)是A内射模。贝尔准则是一个很有用的判别定理：对A的每个左理想I和每个A同态h：I→Q，若h都可开拓成h-：A→Q，即h-|I=h，则Q是内射模；反之亦然.内射模这一概念是由贝尔(Baer，R.)于1940年提出的；约翰逊(Johnson，R.E.)和黄德华于1961年将投射模、内射模这些概念推广到拟投射模和拟内射模；山度米尔斯基(Sandomierski)于1964年推广到相对投射模和相对内射模。

阿贝尔群阿贝尔群亦称交换群。一种重要的群类。对于群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的运算满足交换律，即对任意的a，b∈G都有ab=ba，则称G为阿贝尔群。由于阿贝尔(Abel，N.H.)首先研究了交换群，所以通常称这类群为阿贝尔群。交换群的运算常用加法来表示，此时群的单位元用0(零元)表示，a的逆元记为-a(称为a的负元).用加法表示的交换群称为加法群或加群。

可除阿贝尔群可除阿贝尔群是阿贝尔群理论中的重要概念。设G是阿贝尔群，g是G的元素。若对正整数m，在G中存在元素g1，使得g=mg1，则称元素g在G内可以被m除尽。若p是能够除尽g的素数p的最大方幂，则称g在G内的p高度是h；若这样的素数p的最大方幂不存在，即g可以被素数p的任意方幂除尽，则称g在G内有无限的p高度。阿贝尔群G的任意元素，若能被任一正整数除尽，则称G为可除群。群G是可除阿贝尔群，当且仅当对任意素数p，G的每一元素都有无限的p高度。阿贝尔群G是可除群，当且仅当它同构于一些有理数加群Q和拟循环群的直和；而且，每一阿贝尔群同构于可除阿贝尔群的一个子群。阿贝尔群G的任意可除子群D恒为G的直和项。一个阿贝尔群，若它不含非平凡的可除子群，则称此群为既约阿贝尔群。任意阿贝尔群G内必存在惟一的最大可除群D，使得G=D⊕E，其中E为G的既约阿贝尔子群。3