概念介绍

自由泛代数(free universal algebra)一种特殊泛代数。设K是一个泛代数的类，U=〈A，F〉∈K，X={xi|i∈I}是U的生成集合，称U是K上的一个自由代数。若对任意B=〈B，F〉∈K和任意ψ：I→B，存在U到B的一个同态φ使得ψ(i)=φ(xi)(i∈I)，则称X为U的一个自由生成元集。2

代数数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。参见，如： 布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES);四元数(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

设K为一交换体. 把K上的向量空间E叫做K上的代数，或叫K-代数，如果赋以从E×E到E中的双线性映射.换言之，赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构：

——记为加法的合成法则(x，y)↦x+y;

——记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;

——记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则;

这三个法则满足下列条件：

a) 赋以第一个和第三个法则，E则为K上的一个向量空间;

b) 对E的元素的任意三元组(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)对K的任一元素偶(α，β)及对E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

设A为一非空集合. 赋予从A到K中的全体映射之集ℱ(A，K)以如下三个法则：

则ℱ(A， K)是K上的代数， 自然地被称为从A到K中的映射代数.当A=N时， 代数ℱ(A，K)叫做K的元素序列代数.

无论是在代数还是在分析中，代数结构都是最常见到的结构之一。十九世纪前半叶末，随着哈密顿四元数理论的建立，非交换代数的研究已经开始。在十九世纪下半叶，随着M.S.李的工作，非结合代数出现了。 到二十世纪初，由于放弃实数体或复数体作为算子域的限制，代数得到了重大扩展。

与外代数，对称代数，张量代数，克利福德代数等一起，代数结构在多重线性代数中也建立了起来。3

泛代数泛代数是代数学的一个分支学科。泛代数是在群、环、域、格等代数系统研究的基础上进一步抽象得以发展起来的一般代数系统。一个泛代数U是一个二元组〈A，F〉，其中A是一个非空集合，称A为U的全域(universe)或支集(underlying set)，F是定义于A上的运算集合(F可能是有限集，也可能是无限集)。对于泛代数可以仿照群、环、域中的方式定义子代数、同态、同构概念等。

早在1898年，怀特海(Whitehead，A.N.)就意识到要研究泛代数。但直到20世纪30年代伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)的论文发表以前，泛代数的研究没有什么发展。这和当时近世代数的大部分分支没有得到充分的发展有关。从1935年到1950年，泛代数的大部分研究成果是按伯克霍夫的文章的方向进行的，即，研究自由代数、同态定理、同构定理、合同关系格、子代数格等。

由于数理逻辑的发展，为泛代数的研究提供了一个新的工具，特别是哥德尔完全性定理、塔尔斯基可满足性概念、紧致性定理等，使人们意识到逻辑在代数中应用的可能性。马尔茨夫(Malcev)于1941年发表了这方面的第一篇论文，由于战争，他的论文没有引起人们的注意。后来，塔尔斯基(Tarski，A.)、亨金(Henkin，L.)和鲁宾孙(Robinson，A.)开始这方面的研究工作。

利用模型论(数理逻辑的一个分支)研究泛代数的主要代表人物有塔尔斯基、亨金、查尔各(Charg，C.C.)、琼森(Jonsson，B.)、凯斯勒尔(Keisler，H.J.)、林敦(Lyndon，R.C.)、墨尔洛各(Morlog，H.)、斯科特(Scott，D.S.)、沃特(Varght，R.L.)等人。当然，泛代数的结果也可应用于模型论的研究。

泛代数除了在数学本身的研究中有广泛应用外，对计算机语言和语义理论的研究也有越来越大的作用。

同态设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤。称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有：

设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射。f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态， 而并不因此就是幺半群的同态)。

设G为乘法群，而a为G的元素。 由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态。

设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态. 这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f将A的单位元变成B的单位元。

例如，设n为非零自然数;使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态。设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数)。称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。

例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基。则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态。

同态的概念能用抽象的方式加以推广。4