概念介绍

可除代数(division algebra)平行于除环的一类重要代数。若R代数A的每个非零元在A中恒有逆元，即A* =A\{0}是乘群，则称A是R可除代数。R是域时，R可除代数简称可除代数。代数闭域F上有限维可除代数只有F自身。而实数域R上有限维可除代数有且仅有实数域、复数域与四元数可除代数三种，这是有限维可除代数著名的弗罗贝尼乌斯结构定理。1

代数代数是数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。参见，如： 布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES);四元数(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。2

设K为一交换体. 把K上的向量空间E叫做K上的代数，或叫K-代数，如果赋以从E×E到E中的双线性映射.换言之，赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构：

——记为加法的合成法则(x，y)↦x+y;

——记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;

——记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则;

这三个法则满足下列条件：

a) 赋以第一个和第三个法则，E则为K上的一个向量空间;

b) 对E的元素的任意三元组(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)对K的任一元素偶(α，β)及对E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

设A为一非空集合. 赋予从A到K中的全体映射之集ℱ(A，K)以如下三个法则：

则ℱ(A， K)是K上的代数， 自然地被称为从A到K中的映射代数。当A=N时， 代数ℱ(A，K)叫做K的元素序列代数。

无论是在代数还是在分析中，代数结构都是最常见到的结构之一。十九世纪前半叶末，随着哈密顿四元数理论的建立，非交换代数的研究已经开始. 在十九世纪下半叶，随着M.S.李的工作，非结合代数出现了. 到二十世纪初，由于放弃实数体或复数体作为算子域的限制，代数得到了重大扩展。

与外代数，对称代数，张量代数，克利福德代数等一起，代数结构在多重线性代数中也建立了起来。3

环环是抽象代数的一个基本概念。如果在一个非空集合S中，定义了两种代数运算：“加法”与“乘法”，S关于加法构成交换群，关于乘法满足结合律及对于加法的分配律，就称集合S关于所定义的运算构成一个环。如果乘法还满足交换律，就称为交换环。以数为元素的环，称为数环。例如，整数的全体或有理数的全体都构成环，但正整数的全体就不是环，因为对加法，它不存在元素零及逆元素(负整数)。

对并与差运算封闭的集类，测度论中重要概念之一。设F是Ω上的一个非空集类。如果它对集的并及差运算封闭，即对任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，则称F为Ω上的环。例如，若F是由实直线R上任意有限个左开右闭的有限区间的并集：

的全体构成的集类，则F是R上的一个环.环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。4

除环亦称体或斜域。接近于域的一类条件很强的环。设R是一个有单位元的环.若R中至少含有一个非零元，且每个非零元都是可逆元，则称R为除环。交换的除环是域。

除环（division ring），又译反称域或体（skew field）、体，是如下定义的一个环：

至少有一个非零元素，这些非零元素称为单位(Unit)。

非零元素都存在逆元素（左逆元素与右逆元素）。

它和域（field）的区别在于除环不必要符合交换律。所有域都是除环。不符合交换律的除环(斜体），例子有四元数体。

可除代数重要定理弗罗贝尼乌斯定理是可除代数的一个重要定理。该定理是特征对合分布的一个著名定理。该定理断言：C流形上的C分布D为对合的充分必要条件为它是完全可积的。在任一坐标图(U，φ，x)上，l维分布D等价于普法夫方程组φt=0，其中t=l+1，l+2，…，n(=dim M)，D为对合等价于外微分方程组：5

dφt=0 mod(φl+1，φl+2，…，φn);

而D为完全可积则等价于子流形：

{x∈U|x=const， l+1≤t≤n}

适合普法夫方程组φt=0。这样的普法夫方程组也称为是完全可积的。因此，弗罗贝尼乌斯定理也可以叙述为：普法夫方程组ωα=0 (1≤α≤m)完全可积的充分必要条件是dωα=0 mod(ω1，ω2，…，ωm)。