分次模(graded module)是具有分次结构的分次环上的模，是同调代数的基本概念之一，指由一些A模所组成的序列。类似于分次环，在分次模中可定义g分支、g次齐次元和g次齐次分量。分次模M的支集规定为{Mg≠0|g∈G}，并记为SuppG(M)。M的G分次子模N，是指N为M的R子模且N=⊕g∈G(N∩Mg)，这等价于若x∈N，则x的齐次分量也在N中，特别地，RR的分次子模称为R的分次左理想，类似地，可定义R的分次右理想和分次理想1。

分次模(graded module (in homological algebra) )是同调代数的基本概念之一，指由一些A模所组成的序列。称为一个(单)分次模，其中均为A模，环A上的一个复形

若不考虑边缘同态d，则决定一个分次模若也是一个分次模，n是一个固定的整数，则模同态的集合称为由M到N的n次的分次模映射，这个映射常表成。若分次模中，对每个都有称为的分次子模，而分次模称之为它们的分次商模。模范畴中所有的分次模连同分次模映射构成一个阿贝尔范畴1。

①A是Noether 环，M是有限生成的A-模，是M的一个-滤链，则下述论断等价：

i)是有限生成-模；

ii) 滤链是稳定的。

②(Artin-Rees引理)设A是Noether环，是A的一个理想，M是一个有限生成的A-模，是M的一个稳定-滤链，设是的一个子模，则是的一个稳定-滤链。

③存在整数k，使得，对一切。

④设是Noether环，是一个理想，是一个有限生成A-模，是的一个子模，则滤链和具有有界差。特别，的-拓扑与由的-拓扑所诱导出的拓扑相同。

⑤设

是Noether 环A上有限生成的正合序列是，是A的理想，则-adic完备化序列

是正合的。

⑥设A是Noether环，是一个理想M是有限生成A-模，是M的完备化，则的核由M中被中某元素所零化的那些元素x组成。

⑦A是Noether环，是A的一个包含在大根中的理想。M是有限生成A-模，则M的拓扑是Hausdorff 拓扑，即。

⑧设A是Noether局部环，m是它的极大理想，M是有限生成A-模，则M的m-拓扑是Hausdorff 拓扑，特别A 的m-拓扑是Hausdorff 拓扑2。

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