概念代数中的定义

平移群(translation group)是仿射李代数的外尔群的子群。设g(A)是仿射李代数，A=(aij)i，j=0，设W是由ri(i=1，2，…，l)生成的W的子群，θ=δ-a0α0，v是g(A)的正规化标准型决定的h→h的同构，M=a0Z(W·θ)，对任意的α∈M，引入如下h的自同态tα：

其中c是g(A)典型中心元，T={tα|α∈M}是g(A)的外尔群的子群称为平移群。仿射李代数的外尔群W=W∝T。

物理学中的定义在任何晶体结构中，都有一个潜在的空间点阵。空间点阵中每一个格矢都对应于该晶体结构中一个平移对称操作。所有平移对称操作的集合所构成的群，就称为此种晶体结构的平移群。

由于每一个平移对称操作对应于一个格矢，而平移操作的连续操作对应于格矢的加法，所以平移群与格矢的加法群同构。因此，空间点阵也就是晶体结构平移群的图象表示，称为平移点阵。

在每一空间点阵中，都可以找到能显示最高点对称性的Bravais单胞以及与此相联系的标准坐标系。于是，空间点阵中的格矢可表为T=ma+nb+pc，此处a、b、c为晶轴基矢，m、n、p为整数或简单分数。平移群的所有性质可以通过T的加法群来进行研究。

所有晶体结构的Bravais点阵有14种，所以晶体结构的平移群也相应地有14种，它们的代表符号也和14种Bravais点阵符号相同。

群群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

子群如果群G的非空子集合H对于G的运算也成一个群，那么H称为G的子群。

群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G.若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H