半完全环是介于完全环与半局部环之间的一类环。设J(R)是环R的雅各布森根，若R/J (R)是半单环，且R/J (R)的幂等元可提升为R的幂等元，则称R为半完全环。例如，左、右阿廷环、局部环都是半完全环。半完全环是左、右对称的，从同调论的观点看，R是半完全环意味着*R或R*是半完全模，即它们的任意同态像有投射包。

半完全环是介于完全环与半局部环之间的一类环。设J(R)是环R的雅各布森根，若R/J (R)是半单环，且R/J (R)的幂等元可提升为R的幂等元，则称R为半完全环。例如，左、右阿廷环、局部环都是半完全环。半完全环是左、右对称的，从同调论的观点看，R是半完全环意味着*R或R*是半完全模，即它们的任意同态像有投射包。半完全模和完全模是马雷斯(E. A.Mares)在研究完全环的推广时引进的。半完全环还有以下的等价刻画：

1.任意有限生成R左(右)模有投射包。

2.任意单R左(右)模有投射包。

3.存在R的完全正交幂等元集{e1，e2，…，en}使得eiRei是局部环。

环是对并与差运算封闭的集类，测度论中重要概念之一。设F是Ω上的一个非空集类。如果它对集的并及差运算封闭，即对任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，则称F为Ω上的环。例如，若F是由实直线R上任意有限个左开右闭的有限区间的并集：

的全体构成的集类，则F是R上的一个环。环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。

完全环是一类具有同调性质的环。设R是环，若任意左R模有投射包，则称R为左完全的。以下性质是等价的：

1.R是左完全环。

2.R/J(R)是半单的且J(R)是T幂零的。

3.任意平坦左R模是投射的。

4.R的任意右主理想链满足极小条件。1

完全环的概念是巴斯(H.Bass)于1960年研究模范畴的同调性质时引进的。上面的结果也就是著名的巴斯定理。

局部环和半局部环分别是完全准素环和半准素环概念的推广。环R(≠0)中，若不可逆元(即非单位)集A对于加法是封闭的，则R称为局部环.以下性质是等价的：2

1.R是局部环。

2.R中不可逆元的集A是(双边)理想。

3.A是极大左(右)理想。

4.对于任意r∈R，r或1-r必是左(右)可逆元。

5.R的雅各布森根J(R)是极大左(右)理想。

6.R/J(R)是除环。

7.J(R)=A={x∈R|Rx≠R}(x称为非生成子)。

若R/R(J)是半单的，则称R是半局部的。局部环的概念对于模的分解性质十分重要。对于任意R模M，若M的自同态环End(M)是局部的，则M是不可分解的。反之，若M是不可分解且是内射的，则End(M)是局部环。东屋五郎(G.Azumaya)曾利用局部环的概念，把古典的克鲁尔-锐玛克-施密特定理推广为项数可以是无穷的情形。局部环也具有特殊的同调性质。卡普兰斯基(I.Kaplansky)于1958年证明：对于局部环R，任意R投射模是R自由的。

环论是研究环的性质及其运算规律的代数分支学科。近代环论也包含了非结合代数。“环”是抽象代数研究中的基本对象之一。

环和理想的构造在19世纪已为人熟知，并应用在戴德金(R.Dedekind)和克劳尼克(L.Kronecker)等关于代数数的著作中。克劳 尼克(L.Kronecker)将环称为“order”，希尔伯特(D.Hilbert)才引进了“ring (环)”这一词。但是抽 象的理论是在20世纪发展起来的。至诺德爱米(N.Noether)将其置于系统化和公理化的基础上。

环论和群的概念有密切关系， 设S是一个集合，它在加法之下 构成Abel群，在乘法运算之下是 半群，对加法满足分配律，即对：

∀a， b， c∈S

a(b+c)=ab+ac

(a+b)c=ac+bc

在环中，对乘法而言

ab=0⇏a=0或b=0如果有a∈S， 存在b∈S，使ab=0 (ba=0)，则 说a是S中的一个左 (右) 零因 子。不含零因子的交换环称为整 环。数域上的多项式环也是整环。 n阶矩阵环则不是整环。3

正如不变子群在群的研究中所 起作用一样，理想的概念对环的研 究至关重要。对环S中的非空子集 A，如果A关于S中的两种运算构 成环，则A是S的子环。进一步， 对S中的子环A， 如果∀m∈S， a∈ A，有xa，ax∈A，则A称为环S 的一个理想。显然S中理想的交集 仍是S的理想，当A是环S的一个 理想时，由加法运算作出商群 S/A，此商群对乘法而言，易证其 为半群，从而S/A构成环，称为 商环，或称S关于A的剩余类环。

环的同态和同构是研究环的重要工具。

设f是环A到环Ā的一个映 照， 如果对∀a·b∈A有f(a+b) =f(a)+f(b)，f(ab)=f(a)f(b)，则说f 是A到Ā的同态映照， 当f是满射 时， 则说f是A到Ā的满同态；而如果f是双射， 则称f是A和Ā的 同构映照， 并说A和Ā同构，记为A≃Ā。

设f是A到A的同态映照，o 是中零元素(加群的单位元)记kerf={x∈A|f(x)=0}称为同态映照f之核，kerf关于加法构成群，关于乘法构成半群。 又∀x∈A， y ∈kerf，

f(xy)=f(x) f(y)=0

f(yx)=f(y) f(x)=0

∴xy，yx∈kerf，故kerf为A的一个理想。由此可得环的同态基本定理。

A是环，则A的任一商环都是A的同态象， 反之，如果Ā是 A在f之下的同态象，则有

A≃A/kerf

由环的概念，可引伸出代数的 概念，设S是一个环，如果作为加法群，它是域K上的向量空 间，域K上的数乘和S上的乘法可交换，即α∈K，a·b∈S，则 (αa)b=α(ab)，则S称为一个代数，进一步可讨论代数的表示理论。

环论在域论中起决定性作用，在泛函分析中也获得广泛应用。4

本词条内容贡献者为: