概念

正则开集(regular open set)是一类强于开集的集合。设A为拓扑空间X的子集。若A的闭包的内部等于A，即(A-)°=A，则称A为X的正则开集。正则开集一定是开集，但是反之未必成立。若A的内部的闭包等于A，即，则称A为X的正则闭集。正则闭集一定是闭集，但是反之未必成立。A为X的正则开集当且仅当A的补集为X的正则闭集。

拓扑空间欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(吉洪诺夫空间)的概念。1

20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。

此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。

集合集合是现代数学的一个重要的基本概念。当我们把一组确定的事物作为整体来考察时，这一整体就叫做集合。

例如，(1)从1到10这10个自然数的全体;(2)小于100的所有质数的全体;(3)全体自然数;(4)一个班所有学生这一整体;(5)世界上所有国家组成的一个整体;等等，它们都是集合的例子。

上述例子可以看出，它们都是分别由不同的对象组成的一个整体，它们的特点是有确定的对象和具有一定的范围。所以集合这个概念可以用以下的语言来描述：

集合是具有一定范围的、确定的对象的全体。集合也简称为集。

在数学中，集合是一个不加定义的“原始概念”。这就是说，不能用比它更原始的概念去定义它。因此，集合在数学中被作为原始的最基本的概念来定义其它数学概念。集合是数学概念的出发点。

集合概念具有以下一些属性：

(1)集合指的是一类事物的整体，而不是指其中的个别事物。

(2)集合中的任一对象具有确定性，即对于任何事物，可以通过某种法则确定其是否属于某集合，或不属于某集合，二者必居其一。(应指出，不具有这条属性的，界限不清的集合是模糊集合。我们这里所说的集合不是模糊集合，而是普通集合。)

(3)在一般情况下，约定一个集合中的各个对象是互不相同的。凡一个集合中所有相同的对象均应合并起来成为一个对象。例如，由1，1，2，2四个数组成的集合，应变成由1，2两个数组成的集合。

(4)在一般情况下，集合只与组成它的成员有关，而与它的成员的顺序无关。如由1，2，3，4组成的集合与由2，1，4，3组成的集合是同一个集合。

(5)一个集合不必由同一类事物作为它的对象。例如，由2， 3，a，b可以组成一个集合。

集合一般用大写字母A，B，C，…表示。2

开集拓扑空间的基本概念之一。在集合X上确定适当的拓扑结构T后，T中的元素就称为T开集，在不致混淆时亦简称开集。拓扑T亦称为开集系.开集的补集是闭集，开集G的每一点都是G的内点，G也是G的任一点的邻域。开集、闭集、内部、闭包等概念都是康托尔(Cantor，G.(F.P.))在研究欧几里得空间的子集类时引进的。豪斯多夫(Hausdorff，F.)于1914年将它们推广到抽象空间。

闭集拓扑空间的基本概念之一。拓扑空间中开集的补集称为闭集。集合A是闭集当且仅当A等于它的闭包，或A的每个聚点都属于A。拓扑空间X中闭集的全体称为X的闭集系。由闭集的定义可得到与开集对偶的三条性质：

1.空集与X均为闭集。3

2.任意多个闭集的交是闭集。

3.任意两个闭集的并是闭集。

闭包图论的一个基本概念。指由一个图所派生出的另一个图。具体地说，一个图G的闭包H是指符合下列条件包含边最少的图：G是H的支撑子图；对于H上任何两不相邻节点v和w，都有ρH(v)+ρH(w)