保闭族(closure preserving family)是一类集族。设U为拓扑空间X的子集族。若对于U的任意子族V，∪{W'|W∈V}为闭集，则称U为X的保闭族。若U可以表示为可数个保闭族的并，则称U为X的σ保闭族。

概念保闭族(closure preserving family)是一类集族。设U为拓扑空间X的子集族。若对于U的任意子族V，∪{W'|W∈V}为闭集，则称U为X的保闭族。若U可以表示为可数个保闭族的并，则称U为X的σ保闭族。局部有限族必为保闭族。迈克尔(Michael，E.)用保闭族给出仿紧空间的充分必要条件。保闭族是迈克尔于1957年提出的。

集族集族是一种特殊的集合。以集合为元素的集合称为集族。例如，集A的幂集P(A)是一个集族。P(P(A))，P(P(P(A))都是集族。集族常用花体字母A，B，C等表示。取A为标号集，A到集族A的一一对应(双射)为f：a→Aa，则集族A可记为{Aa|a∈A}或{Aa}a∈A。当A为线性序集{…，a，…，b，…，c，…}时，集族{…，Aa，…，Ab，…，Ac，…}称为集列。

集合是集合论研究的基本对象。指公理集合论系统中的个体。在公理集合论系统中，集合被作为原始概念引入，其性质由系统的公理所界定。因此在不同的公理集合论系统中，集合的性质及相互之间的关系也不同。如在ZFC公理系统中，集合具有下列最基本的性质：

1.外延性.任何两个具有相同元素的集合相等。

2.遗传性.集合的任何元素仍是集合。

3.正则性.任何一个集合不属于它本身。

在含原子的公理集合论系统中的集合不满足遗传性，在不含正则公理的公理集合论系统中，集合通常不具有正则性。在素朴集合论中，集合用概括原则定义，即为{x|p(x)}的形式，p(x)表示关于x的某个性质。集合a={x|p(x)}意指ᗄx(x∈a↔p(x))。

局部有限族局部有限族是一类集族。设M为拓扑空间X的子集族。若对于任意x∈X，存在x的邻域V，使得V仅与M中有限个成员相交，则称M为X的局部有限族。若M是可数个局部有限族的并集，则称M为X的σ局部有限族。局部有限族的概念是亚历山德罗夫(Александров，П.С.)于1924年引入的。

亚历山德罗夫是苏联数学家。生于俄罗斯的博戈罗德斯克(Богородск)，1917年毕业于莫斯科大学。1921年起在莫斯科大学工作，1929年晋升为教授。1932—1964年，任莫斯科数学会主席。1953年被选为苏联科学院院士。1

亚历山德罗夫是现代拓扑学的奠基者之一。他的研究工作开始于集合论和函数论，后转向拓扑学。他和乌雷松(Урысон，П.С.)共同创立并发展了紧与列紧空间理论，引入了一系列基本概念和拓扑结构，建立了本质映射定理和同调维数论，并由此导出了一系列对偶性原理的基本规律。例如，他们得到的定理和性质有：任何一个一般拓扑空间都与一个简单的几何图形——多面体相近似；图形与集合的拓扑性质与其余集的拓扑性质有关等。亚历山德罗夫的著作有《组合拓扑学》(1947)、《群论导引》(1951)、《非欧几何是什么?》(1950)、《集与函数的泛论初阶》(1948)、《拓扑对偶定理(第一部分)：闭集》等。他早年与霍普夫(Hopf，E.)合著的《拓扑学》流传很广。

拓扑空间欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(吉洪诺夫空间)的概念。

20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。

此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。

仿紧空间仿紧空间是一类重要的拓扑空间。为了讨论拓扑空间的可度量化问题，迪厄多内(Dieudonné，J.)于1944年引入仿紧空间的概念。设X为拓扑空间。若X的任意开覆盖都有局部有限的开覆盖加细，则称X为仿紧空间。紧空间是仿紧空间。度量空间也是仿紧空间。反之未必成立。仿紧空间是紧空间的一种最重要的推广.对于这一类空间的研究，不仅从内容上推广了紧空间理论，而且较大地发展了覆盖方法，有力地推动了一般拓扑学的发展，特别是广义度量空间理论和度量化问题的广泛进展。另外，仿紧空间在微分流形、代数拓扑和泛函分析中也有重要的应用。仿紧性具有闭遗传性。仿紧T2空间的闭连续像是仿紧T2的。仿紧T2空间是全体正规空间。全体正规空间是仿紧空间。仿紧T2空间中的Fσ集是仿紧的。在完全映射下，仿紧空间的原像是仿紧的。仿紧空间是亚紧的、可数仿紧的、族正规的。可数紧的仿紧空间是紧空间.林德勒夫空间是仿紧的。斯通(Stone，A.H.)于1948年、迈克尔(Michael，E.)于1953年给出了仿紧性的几个等价条件。森田纪一(Morita，K.)和玉野(Tamano，H.)于1960—1962年也分别给出了几个等价条件。2

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王海侠 - 副教授 - 南京理工大学