概念

拓扑域(topological field)是具有拓扑结构的域。若F是一个域，同时为一个拓扑空间，而且F中的代数运算在拓扑空间F中是连续的，即：对任意的a，b∈F，及a-b，ab的任意邻域W，W′，存在a，b的邻域U，V使得

当a≠0时，对a的任一邻域W，存在a的邻域U，使得UW，则称F是拓扑域。亨泽尔(Hensel，K.)于1904年发表的有关p进数域的论文被认为是有关拓扑域的最早的研究。

拓扑拓扑是集合上的一种结构。设T为非空集X的子集族。若T满足以下条件：

1.X与空集都属于T;1

2.T中任意两个成员的交属于T;

3.T中任意多个成员的并属于T;

则T称为X上的一个拓扑。具有拓扑T的集合X称为拓扑空间，记为(X，T)。

设T1与T2为集合X上的两个拓扑。若有关系T1T2，则称T1粗于T2，或T2细于T1。当X上的两个拓扑相互之间没有包含关系时，则称它们是不可比较的。在集合X上，离散拓扑是最细的拓扑，平凡拓扑是最粗的拓扑。

拓扑空间拓扑空间是欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(吉洪诺夫空间)的概念。

20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。

此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。2

域设F是域K的子集，对于K的加法和乘法运算，F也做成一个域，则称F是K的一个子域，K是F的一个扩域，记作K/F，称K/F为一个域扩张。设，E/F和K/E都是域扩张，则称E是K/F的一个中间域。设F是域K的子域，T是K的子集，K/F的含T的所有中间域的交仍是K/F的中间域，这个域记作F(T)，称为F添加T所得到的扩域，或称T在F上生成的域。当T= {t1，…，tn} 是K的有限子集时，记F(T)=F(t1，…，tn)，称这个域是在F上有限生成的。特别地，添加一个元素t于F中而得到的扩域F(t)称为F的单扩域。域F的扩域K可以看成F上的向量空间，如果K在F上的维数是有限的，则称K是F的有限次扩域，K/F是有限次域扩张。K在F上的维数记作〔K：F〕，称为K在F上的次数。设E是域扩张K/F的中间域，则〔K：F〕=〔K：E〕〔E：F〕。如果一个域没有真子域，就称为一个素域，在同构的意义下，只有有理数域Q和以素数p为模的剩余类环Z/(p)是素域。任何一个域F的一切子域的交F0是一个素域，如果F0≌Q，则称F是特征零的，如果F0≌Z/(p)，则称F是特征p的，F的特征记作CharF。设F是域K的子域，α∈K称为F上的代数元，如果存在F上的非零多项式f(x)，使得f(α)=0，否则，则称α是F上的超越元。设K/F是一个域扩张，如果K的每个元都是F上的代数元，则称K/F是代数扩张，否则称K/F为超越扩张。设K/F是一个域扩张，设A是K中在F上的代数元的全体，则A是K/F的中间域，称F在K中的代数闭包。一个域K称为是代数闭域，如果K〔x〕中每个次数大于零的多项式在K中有一个根。域F的一个扩域Ω称为F的代数闭包，如果 (1)Ω是代数闭域;(2)Ω是F的代数扩域。任何一个域都有一个代数闭包。设E，E′都是域F的扩域，如果E，E′都域F的某个扩域的子域，而且存在E到E′的同构使F中的元不动 (称为F-同构)，则称E与E′在F上共轭，简称F-共轭。设E/F是一个域扩张，如果E/F是代数扩张，而且任意与E是F-共轭的域都等于E，则称E/F是正规扩张。设F是一个域，f(x)∈F[x]，degf(x)>0，如果K是F的扩域，在K[x]中，f(x)=a(x-a1) …(x-an)，a∈F，a1，…，an∈K，而且K=F(a1，…，αn)，则称K是f(x)在F上的一个分裂域。域F上的次数大于零的多项式f(x)，如果在F的某个代数闭包Ω内的根都是单根，则称f(x)是可分的，否则就是不可分的。a是域F上的代数元，a满足的最高次项系数为1的最低的多项式称为a的极小多项式。设K/F是一个代数扩张，如果K的每个元素在F上的极小多项式都是可分的，则称K/F是一个可分扩张。只含有限个元素的域称为有限域，有限域的特征必是某个素数p。设F含有q个元素，F的素域p含有p个元素，[F： P] =f，则q=pf。两个有限域同构当且仅当它们有相同的元素个数。设Fg是含有q个元素的有限域，Fg的一切非零元素对于Fg的乘法做成q-1阶循环群，从而有限域的有限次扩域都是单扩域。

人物简介——亨泽尔德国数学家。生于柯尼斯堡(Konigsberg)，卒于马尔堡(Marburg)。曾在波恩大学、柏林大学学习，受到利普希兹、外尔斯特拉斯、克罗内克等名师的指导。1884年获哲学博士学位。1901年被聘为马尔堡大学教授，并担任德国著名数学杂志《纯粹与应用数学杂志》(Journal für die reine undangewandte Mathematik) 的 编辑。1931年获得奥斯陆(Oslo)大学授予的名誉博士学衔。亨泽尔在函数论、代数学、数论等方面都有重要贡献。在函数论方面，所谓克罗内克—亨泽尔法则提供了代数函数域的算术基础。在代数学方面，他证明了矩阵的最小多项式的唯一性。他提出了P—进数的概念，通过进一步的工作，亨泽尔将P—进数发展成一套系统的理论。P—进数法则已成为解决代数数论问题的有效工具，在二次型、数域上的代数以及数论的研究中都得到了成功的运用。亨泽尔的主要著作有《代数函数论》(Theorie der algebraischenFunktionen，1902)《代数数论》(Theorie der algebraischen Zahlen，1908)及《数论》(Zahlentheorie1913)等。3