概念

单调收敛空间(monotone convergence space)是一类特殊的拓扑空间。设X为T0拓扑空间，≤是X上的特殊化序。若(X，≤)的任意定向子集D有上确界，并且对于X的任意开集U，由sup D∈U可推出D∩U≠∅，则称X为单调收敛空间。X是单调收敛空间，当且仅当(X，≤)中每一定向网都有上确界，并且收敛于此上确界，其中≤是X上的特殊化序。若L是完全格，则(L，σ(L))是单调收敛空间，其中σ(L)是L上的斯科特拓扑。入射空间是单调收敛空间。若f：X→Y是单调收敛空间X到拓扑空间Y的连续函数，则关于X与Y的特殊化序，f是保定向上确界的。1

拓扑空间拓扑空间是欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(吉洪诺夫空间)的概念。

20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。

此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。

特殊化序特殊化序是拓扑空间上一类特殊的序。若(X，Ω(X))是T0拓扑空间，x，y∈X.定义x≤y，当且仅当x∈{y}，则≤是X上的一个自反、反对称、传递的关系，称≤为拓扑空间X上的特殊化序，或≤是由Ω(X)诱导的特殊化序。当X是T1空间时，X上的特殊化序是平凡序(即x≤y，当且仅当x=y)。若f：X→Y是连续函数，则f保特殊化序，即由x≤Xy可推出f(x)≤Yf(y)，其中≤X与≤Y分别是X与Y上的特殊化序。当L是定向完全偏序集时，L上的斯科特拓扑σ(L)诱导的特殊化序是L上的原有的序。定向完全偏序集L上的不同的拓扑可以诱导同一个特殊化序≤，并且≤是L上的原有的序。在这些拓扑中，最粗的拓扑是上拓扑ν(L)，最细的拓扑是亚历山德罗夫拓扑γ(L)，其中γ(L)是由L的所有上集(即满足条件A=↑A的集合A)组成的拓扑。若(X，Ω(X))是索伯空间，并且(X，≤)是定向完全偏序集，则由Ω(X)诱导的特殊化序是≤，当且仅当Ω(X)细于(X，≤)上的上拓扑，并且粗于(X，≤)上的斯科特拓扑。

上确界上确界是序论的基本概念之一。设X是偏序集P的子集，如果X的上界的集合中有最小元，则称此最小元为X的上确界，记为sup X(或∨X或l.u.b.X)；对偶地可以定义下确界，记为inf X(或∧X或g.l.b.X)。上、下确界是皮尔斯(Peirce，C.S.)首先研究的。

数集的最小上界。称β是实数集合E的上确界，记为β=sup E或lub E，是指：

1.β是E的上界，即对任意x∈E，有x≤β.

2.若b是E的上界，则β≤b(即β是最小上界)；或比β小的数不是E的上界，即对任意ε>0，存在x0∈E，使x0>β-ε。

β是E的最大元，当且仅当β=sup E，且β∈E。当非空实数集E没有上界时，常以sup E=+∞表示；当它有上界时，上确界必存在，即上确界是实数。

入射空间入射空间是一类特殊的拓扑空间。设X是T0拓扑空间。若对于任意拓扑空间Z与任意连续映射f：Z→X，f可连续延拓到以Z为子空间的任意空间Y上，则称X是入射空间。最简单的入射空间是谢尔品斯基空间。设S={0，1}是两点集，S上的拓扑2

Ω(S)={∅，{1}，S}，

则(S，Ω(S))称为谢尔品斯基空间。T0空间X是入射空间，当且仅当X是谢尔品斯基空间S的某个幂S的收缩核，即，存在连续函数f：S→S使得f=f且f的值域同胚于X。入射空间的收缩核是入射空间。入射空间的乘积是入射空间.入射空间与连续格有密切的联系。若L是连续格，则(L，σ(L))是入射空间，其中σ(L)是L上的斯科特拓扑。反之，若(X，Ω(X))是入射空间，≤是由Ω(X)诱导的特殊化序，则(X，≤)是连续格，并且Ω(X)等于X上的斯科特拓扑σ(X)。

斯科特拓扑斯科特拓扑是完全格上的一类常用拓扑。设L是完全格，U是L的子集。若U满足以下条件：

1.U=↑U，其中↑U={x∈L|u∈U，x≥u};

2.对于任意定向集D，若sup D∈U，且

D∩U≠∅;

则称U为L的斯科特开集。L的所有斯科特开集的集族是L上的一个拓扑，称为L上的斯科特拓扑，记为σ(L)。若U∈σ(L)，则称L-U为斯科特闭集。A是斯科特闭集，当且仅当A=↓A，其中

↓A={x∈L|u∈A，x≤u}，

并且A对于定向上确界关闭，即，若D是定向集且DA，则sup D∈A.(L，σ(L))是一个T0拓扑空间。对于任意x∈L，{x}=↓x，其中↓x=↓{x}。当L是连续格时，{↟x|x∈L}是σ(L)的拓扑基，并且对于任意x∈L，XL，有

int↑x=↟x， int X=∪{↟u|↟uX}，

其中int表示内部运算。当L是连续格时，(L，σ(L))是局部紧的索伯空间。若L是完全格，则L是连续格，当且仅当σ(L)是完全分配格。利用斯科特拓扑σ(L)可以刻画L的格论性质，这是研究连续格与连续格上的拓扑的一个重要动力。在完全格上引入拓扑的最早陈述是丹伊(Day，B.J.)和凯利(Kelly，G.M.)于1970年对于拓扑空间的开集格情况提出的。英国数学家斯科特(Scott，D.S.)于1972年的论文“连续格”中定义的拓扑最为有用。艾斯贝尔(Isbel，J.R.)于1975年称这个拓扑为斯科特拓扑。在对斯科特拓扑的研究中，劳森(Lawson，J.D.)、霍夫曼(Hofmann，K.H.)、斯特拉克(Stralka，A.)等人做出了重要的贡献。斯科特拓扑的定义可以自然地推广到L是定向完全偏序集的情况，此时L上的斯科特拓扑仍记为σ(L)。3