概念
稳定同伦群(stable homotopy group)是一种特殊的同伦群。由于悬垂同态:1
当n>k+1时为同构,所以
存在。此极限称为球面的第k个稳定同伦群,记为Gk。
群群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构;是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。
设G为一个非空集合,a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”,运算结果称为“乘积”)满足:
(1)封闭性,a·b∈G;
(2)结合律,即(a·b)c = a·(b·c);
(3)对G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如,所有不等于零的实数,关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法),构成一个群。
满足交换律的群,称为交换群。
群是数学最重要的概念之一,已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称,就存在群。例如,可以用研究图形在变换群下保持不变的性质,来定义各种几何学,即利用变换群对几何学进行分类。可以说,不了解群,就不可能理解现代数学。
1770年,拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时,首先引入群的概念,而它的名称,是伽罗华在1830年首先提出的。
同伦群同伦群(homotopy groups)是基本群的高维推广。基本群是从单位闭区间I到拓扑空间X的闭路的同伦等价类和其运算得到的。考虑n维欧氏空间R中的n维方体:2
是
的边界,即:
存在i使得,
设X为拓扑空间,x0∈X,用Mn(X,x0)表示全体连续映射α:(,
)→(X,x0)所成的集合,α和α′相对于I的同伦关系αα′是Mn(X,x0)上的一个等价关系,它把Mn(X,x0)的元素分成一些同伦等价类,用πn(X,x0)表示这些等价类所成的集合.定义映射α*β:(I,I)→(X,x0),使得:
从而,α*β∈Mn(X,x0),并且,若α∽α′,β∽β′,则:
因此,可在πn(X,x0)中定义运算:
并且关于这一运算使它构成群,仍记为πn(X,x0),称为拓扑空间X的以x0为基点的n维同伦群.1维同伦群就是基本群π1(X,x0).同伦群还有一种等价定义方式,它是用n维球面S代替n维方体I,这种定义给讨论同伦群的性质有时带来方便.类似基本群的讨论,同伦群具有性质:当拓扑空间是道路连通空间时,其同伦群与基点选取无关;利用连续映射诱导的同伦群之间同态的一些性质得出,同伦群是同伦型不变量(更是拓扑不变的);当n≥2时,同伦群πn(X,x0)是交换群,因而有时把运算写成[α]+[β]。同伦群与同调群的一些基本关系:对于连通复形K的多面体|K|,1维同调群同构于基本群的交换化,即:
这里[π1(|K|),π1(|K|)]表示基本群π1(|K|)的换位子群。高维同伦群与同调群之间的关系,由赫莱维茨(Hurewicz,W.)的同构定理给出:设|K|是连通复形K的多面体,当n≥2时,若|K|的1,2,…,n-1维同伦群都是平凡群,则πn(|K|)xHn(K)。
基本群基本群亦称一维同伦群。对一个拓扑空间联系一个群的代数结构。在拓扑空间X中对于以同一点x0为基点的两条闭道路α和β可引入乘法*:
α*β是一条以x0为基点的闭道路。这种乘法不一定满足结合律,无法引入群结构。但是,在以x0为基点所有闭路同伦类中,引入乘法:3
[α]°[β]=[α*β],
这种定义是有意义的,并且以x0为基点的全体闭路同伦类在引入这种乘法后构成一群,称为X的以x0为基点的基本群,记为π1(X,x0).基本群可以不是交换群.对于道路连通空间X,其基本群与基点的选取无关,记为π1(X).对于两个拓扑空间X与Y之间的连续映射f:(X,p)→(Y,q),它与X内以p为基点的闭路α的复合映射f°α是Y内以q为基点的闭路,并且两条同伦的闭路与f的复合得出两条同伦的闭路,因此,按照f*([α])=[f°α]定义映射:
f*: π1(X,p)→π1(Y,q),
于是f*为同态,称为f诱导的同态.由此得出基本群是拓扑不变量,进而基本群也是同伦型不变量。
计算基本群常常是将所讨论的空间“归结”或“分解”为更简单的空间以算出其基本群,这些常见的方法有:
1.利用基本群的同伦型不变性.
2.对于乘积空间可利用结论:当X和Y为道路连通空间时,π1(X×Y)π1(X)×π1(Y).
3.利用覆叠空间理论.
4.利用范卡彭定理:若K是连通的复形,K0,K1,K2都是K的连通的子复形,使得
α0是K0的一个顶点,i1和i2分别是K0的多面体|K0|到K1和K2的多面体|K1|和|K2|的包含映射,则|K|的基本群π1(|K|,a0)可从π1(|K1|,a0)与π1(|K2|,a0)的自由乘积中添加关系i1*(z)=i2*(z)得到,其中z取遍π1(|K0|,a0)的一切元素。
范卡彭定理适用于可剖分空间,并可推广到更一般的加一定限制的拓扑空间。例如,用以上方法可得到圆周S的基本群为π1(S)Z,可缩空间的基本群为平凡群,默比乌斯(Mo¨bius,A.F.)带M的基本群π1(M)Z,环面T的基本群为π1(T)Z×Z,n维球面S(n≥2)的基本群π1(S)为平凡群,以及克莱因瓶K的基本群π1(K){t,u|tut=u}(或{a,b|a=b}),这里Z表示整数加群。4