最佳逼近广义多项式(generalized polynomials of best approximation)是指达到最佳逼近的广义多项式，Haar提出了最佳逼近广义多项式的惟一性定理。

基本介绍最佳一致逼近问题在次数不超过n的多项式集合 中求 ，使它与 的误差

这就是最佳一致逼近问题1。

最佳一致逼近多项式给定 ，若存在 ，使

则称 是 在[a，b]上的最佳一致逼近(minimaxapproximation)多项式， 称为最佳偏差(minimax error)，它等于最小偏差值 。

理论上已证明，对任何 ，都存在惟一的 ，使式(1)成立，实际上在集合 中每一元素, 都对应一个偏差 ，由于 ，故集合 有下界，从而有下确界 。如果存在 使 就是所要求的最佳一致逼近多项式。切比雪夫(Chebyshev)对最佳一致逼近多项式的特性，给出了下面的重要定理。

切比雪夫定理设 是在[a，b]上的最佳一致逼近多项式的充分必要条件是，在[a，b]上至少有个点

使

这个定理表明，最佳一致逼近多项式的特性，即逼近的误差分布是均匀的，如图1所示。

最佳(一致)逼近广义多项式若在空间 中取子集 ，若存在 使

则称 为 的最佳(一致)逼近广义多项式，对于代数多项式集合的元素，在[a，b]上最多只能有n个不同的零点，根据切比雪夫定理知最佳一致逼近多项式有n+2个轮流为“+”、“-”的偏差点，对广义多项式也要求在[a，b]上至多具有n个不同的零点，因此要对广义多项式引进更广泛的哈尔(Haar)条件1。

哈尔条件函数线性无关，若子集中任一不恒为零的广义多项式，即

在区间[a，b]上至多具有n个不同的零点，则称函数在[a，b]上满足哈尔条件，也可称子集满足哈尔条件。

显然，子集是满足哈尔条件的。

充要条件有了上述哈尔条件的定义，就可类似定理切比雪夫定理得到下面定理。

定理若子集满足Haar条件则对任意给定的函数，使广义多项式

成为函数在空间C[a，b]上的最佳(一致)逼近广义多项式的充分必要条件是在[a，b]上至少存在n+2个轮流为“+”、“一”的偏差点，即

利用以上定理还可证明当子集满足Haar条件时，则对任给的函数的最佳逼近广义多项式是惟一的。

唯一性定理Haar还提出了下面的最佳逼近广义多项式的惟一性定理。

定理 对任何函数，子集中存在惟一的最佳逼近广义多项式的充分必要条件是子集满足Haar条件1。

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尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学