预备知识邻域与有界集

设X是一个距离空间，A是X的一个子集，若存在x0∈X，及r>0，记

称 为 的一个r邻域，或简称邻域，使得 ，则称A为有界集。1

内点与开集设M为距离空间X的子集，如果存在x的一个邻域整个包含于M，则称x∈M是M的一个内点。若M的所有点都是内点，则称M为开集。1

完全有界的设M是距离空间X中的一个子集，ε>0，N⊂M，若对任意x∈M，总存在y∈N，使得d(x,y)0，A总存在有限的ε-网，则称A是完全有界的。1

自列紧集距离空间中，闭的列紧集称为自列紧集。2

定义表述一列紧集(sequentially compact set)是度量空间中的一类子集。设A是度量空间X中的无穷集，如果A中的任一无穷子集必有一个收敛的点列，就称A是X中的列紧集。如果X本身是列紧集，就称X是列紧距离空间，简称为列紧空间。1

表述二设X是任一拓扑空间，又A⊂X，如果A的每个无穷子集都至少有一个聚点属于A，则A叫做拓扑空间X的一个列紧集。如果X作为空间X的点集是列紧的，则拓扑空间X叫做一个列紧空间。例如，任意空间的所有有限点集是列紧的；空集是列紧集I有限空间为列紧空间，列紧空间的每个闭集都是列紧集；每一个紧致空间都是列紧空间。3

性质有界集与列紧集（1）在 中，任意有界集是列紧集。1例如，根据包查诺-魏尔史特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理，数值线上任何有界集必是列紧的。4

（2）在 中，任意有界闭集是自列紧集。1

（3）列紧集的无穷子集是列紧集。2

列紧空间的子集（1）列紧空间内任意子集都是列紧集。

（2）列紧空间内任意闭列紧集都是自列紧集。

（3）列紧空间必是完备空间。1

必要条件和充要条件（1）距离空间X中集合是列紧的必要条件是M为完全有界的。

证明：设A为距离空间X的列紧集。如果A不是全有界的，则必存在某个 ，使得A没有有限的 网。于是对于任意抽取的x1∈A，必存在x2∈A使得 ，否则{x1}就是A的一个有限 网。同理，存在x3∈A使得 ，否则{x1,x2}就是A的一个有限 网，这样可以一直进行下去，于是我们得到一个点列{xn}使得当m≠n时， ，{xn}显然没有收敛的子列，与A的列紧性相矛盾，故A为完全有界的。5

（2）完备距离空间X中集合是列紧的充分必要条件是M为完全有界的。

证明：设A为完备的距离空间，A⊂X为全有界集．任取A中的一个点列，如果中只有有限个互不相同的元素，则显然含有收敛的子列，因此，可设中有无限多个互不相同的元素，记这些元素构成的集合为。是全有界的，于是X中存在有限个以1/2为半径的开球使得这些开球的并包含，因此它们中至少有一个开球包含了中无限多个元素，这些元素构成的集合记为，这个开球记为，即，则，且是无穷集。本身也是全有界的，将以上的论证应用于，则存在的子集，使得中含有中无限多个元素且的直径不大于1/2。依此类推，我们可以找到一系列的集合满足如下条件：，而且的直径不大于。每个均含有中无限多个元素。注意到每个中的所有元素都是中的某些项，对于k=1，可取中的某一项，使得。对于k=2，可取中的某一项使得且可设，依此类推，便得到的一个子列使得。根据的性质，是基本点列，又因为X是完备的，故在X中收敛，于是A是列紧的。5

（3）设X是一个距离空间，M⊂X是紧集的充分必要条件为M是自列紧的。1

Arzelá-Ascoli定理X是列紧空间，F⊂C(X)是列紧的充要条件是F是一致有界并且等度连续的。2