类域塔问题(problem of class field tower)1是关于是否可以有无限长的希尔伯特类域链的问题。设有域扩张序列K0K1K2…，其中Ki是Ki-1的希尔伯特类域，这样的序列称为类域塔。

概念类域塔问题(problem of class field tower)1是关于是否可以有无限长的希尔伯特类域链的问题。设有域扩张序列K0K1K2…，其中Ki是Ki-1的希尔伯特类域，这样的序列称为类域塔。问题是类域塔是否可能无限扩展下去?这一问题有很长的历史，事实上在证明主理想定理时，要用到两层的类域塔。直到1964年，由戈罗德(Golod)与沙发列维奇(Shafarevich)给出肯定的回答，他们证明：当

时，类域塔可无限扩张下去。

希尔伯特类域希尔伯特类域亦称最大非分歧阿贝尔扩张。一种重要的类域。最早由希尔伯特(Hilbert，D.)于1898年至1899年猜出，后来发展为系统而一般的类域论。数域k的希尔伯特类域K有下列性质：

1.伽罗瓦群G(K/k)与k的理想类群同构。

2.k的素理想p在K完全分裂当且仅当p为主理想。

3.K是k的最大非分歧(对有限和无限素除子)阿贝尔扩张。

4.k的任一理想到K均为主理想。

类域论类域论是代数数论的重要理论之一。它深刻地刻画了(相对)阿贝尔扩张。基本定理如下：若K/k为数域的有限阿贝尔扩张，伽罗瓦群为G=G(K/k)，则存在k的模f(称为K/k的导子，是k的一个除子)，使得对k的任意的模m，由f|m得出G同构于m射线类群I(m)/PmN(m)，式中I(m)为与m互素的k的理想集，N(m)为与m互素的K的理想到k的范全体，Pm为模m余1的α∈k生成的主理想集。且k的素除子v在K分歧当且仅当v|f；k的与m互素的素理想p在K完全分裂当且仅当p∈PmN(m)；反之，对k的任一模m及I(m)的任一含Pm子群H，总存在惟一阿贝尔扩张K/k，使得H=kPmN(m)且上述事实均成立。特别地，G(K/k)I(m)/H.更经常的是用伊代尔语言叙述类域论的定理.基本定理：若K/k为数域的有限阿贝尔扩张，则伽罗瓦群G(K/k)同构于Jk/kNJk，式中Jk为k的伊代尔群，NJK为K的伊代尔群到k的范.上述群的同构由阿廷映射给出。由此可得出，数域k的诸有限阿贝尔扩张K/k与Jk的含k诸开子群H之间一一对应，即K对应于H=kNJK，称为H的类域，G(K/k)Jk/H;这一对应是这两个格(对于复合(或积及交))的反向(包含关系)格同构。类域论有系统的定理和应用，有多种不同的表述方式。对于局部域的阿贝尔扩张有类似的定理(局部类域论)，对于有限域上的单变量函数域也有类似的定理。1

域扩张域扩张是域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F.此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且g(α1，α2，…，αn)≠0。

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。1

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学