大基数公理(large cardinal axioms)是关于大基数存在的一类新加公理。大基数的种类很多。一般地，P(α)都是ω(其基数为0)的某个性质向不可数基数的推广，因而，可以说大基数公理是无穷公理的自然延伸，是人类对无穷世界的认识进一步深化的产物。1

概念大基数公理(large cardinal axioms)是关于大基数存在的一类新加公理。设有关于基数α的一条性质P(α)，它是可以用ZFC系统的语言形式描述的，尽管人们根据直觉相信，有很大的α使P(α)为真，但却不能在ZFC系统内证明“∃αP(α)”这一命题。人们若将∃αP(α)作为公理加入到ZFC系统之中，就称之为一条大基数公理，满足P(α)的α称为大基数。大基数的种类很多。一般地，P(α)都是ω(其基数为0)的某个性质向不可数基数的推广，因而，可以说大基数公理是无穷公理的自然延伸，是人类对无穷世界的认识进一步深化的产物。例如，不可达基数是将ω的“集论运算的不可到达性”推广到不可数基数而得到的大基数。弱紧基数则是将ω所满足的分划关系ω→(ω)22推广至不可数基数而得到的。从这个角度看，大基数公理为人们所乐于接受。增加了大基数公理之后，人们可以对集合论中某些悬而未决的问题做出一定程度的回答。例如，若存在强不可达基数κ，则ZFC相容；若存在拉姆齐基数，则V≠L，即可构造公理不真；若存在强紧基数κ，则V≠L[X]对任何集合X成立，又对于任何大于κ的奇异强极限基数λ，2λ=λ+，这对广义连续统假设做出了部分回答。

大基数大基数是集合论用语。满足某些特殊性质的不可数基数。如“不可达基数”、“可测基数”、“超紧基数”等都是大基数。其中，不可达基数是最小的大基数。在公理集合论ZFC系统中，既不能证明大基数存在，也不能否认大基数存在。2

研究历史大基数的研究由来已久。例如，早在1911年，就开始了对今天称为马赫罗(Mahlo，P.)基数的一类基数的研究；1930年后，就提出了不可达基数和可测基数的概念。但在20世纪60年代之前，这种研究是零星的、分散的。直到20世纪60年代，人们才将大基数公理作为集合论的附加公理来加以研究。近年来，含大基数的内模型成为集合论研究的热点。人们更习惯于用从全域V到某传递类M的非平凡的基本嵌入(elementary embedding)j：V→M来描述大基数公理。设κ为j的临界点，即最小的满足j(α)=α的序数，记为κ=crit(j)。此时，V和M越相似，所引入的大基数公理越强。例如，如果M⊆M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数；如果Vj(k)⊆M，则称k为超强基数；如果对于任意的f：κ→κ，存在j′：V→M′使得crit(j)=k且V⊆M′，其中M′是传递的，则称κ为谢拉赫基数；如果对于任意的f：κ→κ，存在δ