基本介绍

假定刚体固结参考系 在惯性参考系 中有旋转运动，瞬时旋转角速度为 ，三个分量记为 。

本体赤道面 与平均赤道面 有一个交线，从原点 沿上述交线的一方引伸出一个射线，称之为节线 ，节线与 之间的夹角称为进动角，用 表示；瞬时轴 与 之间的夹角称为自转角，用 表示； 与 之间的夹角称为章动角，用 表示。自转角 、进动角 和章动角 通称Euler角，是由Euler引进的。三个Euler角可以完全描述任意一个刚体的旋转运动，原因在于：一个点由三个独立坐标描述；一个刚体通常需要不在同一条直线上的三个点(共9个坐标)来描述；将其中的一个点选为原点，则只需要2个点即6个坐标来描述；但3个点之间存在3个距离方程，因而独立的坐标数只有3个；3个Euler角正好构成一组独立坐标。在事先不知道刚体的旋转运动规律的前提下，要想确定这种旋转运动，则需要求解Euler运动学方程和Euler动力学方程。2

方程形式根据三个Euler角的定义不难写出如下关系：

其中 表示绕地固质心坐标系 轴的旋转角速度。上式便是著名的Euler运动学方程，即欧拉****运动学方程。

准惯性系中的表达形式将旋转角速度 在准惯性系 中表示出来：

其中 表示绕地心准惯性坐标系 轴的旋转角速度( )。2

相关概念欧拉角

刚体定点运动的自由度为3，如何选择3个变量，使它们既能简单、明确、单值地确定刚体位置，又能独立变化，这对简化定点运动的描述是非常重要的，刚体力学的奠基者欧拉（Leonhard Euler,1707一1783）成功地、巧妙地解决了这个问题，他选择3个角度，即著名的欧拉角(Euler angles)作为描述刚体定点运动的变量，具体选择方法如下：以固定点为原点建立静正坐标系 ，再以固定点为原点建立与刚体固连的动坐标系 如图1。3

确定刚体位置等价于确定动坐标的位置，他用两个角度确定z轴的位置，一个是z轴对 轴的倾角 角，另一个是用来确定z轴的方位，它是 面与平均赤道面 面的交线ON与 轴的夹角，交线ON称为节线；这两个角确定后，z轴的位置就确定了，但动坐标系还可以绕z轴转动，若动坐标的x轴与节线的夹角 确定了，则动坐标的位置完全确定，这样选取的3个角 ， ， 称为欧拉角。

它们的量度方向如图所示，它们的变化范围分别为： 。

这3个角可以独立变化，即这3个变量是独立的，从运动学上，它们之间不存在依赖关系（即函数关系），最能说明其独立性的事实是：当任何一个角自由改变时，其他两个角可以保持不变，如以下三种情况是可能的。

1. 仅 角改变，保持 ， 不变。这种运动相应于z轴与 轴间夹角不变，z轴在静止空间中沿圆锥面运动，同时 角也保持不变，这种运动称为进动（precession），相应的角速度称为进动角速度，它的大小和方向为， 为 轴的单位矢量。

2. 仅 角改变，保持 , 角不变。刚体的这种运动称为章动(nutation)，相应的角速度为章动角速度，它的大小和方向为， 为沿节线的单位矢量。
3. 仅 角改变，保持 ， 角不变。刚体的这种运动称为自转（rotation），相应的角速度为 ，称为自转角速度，k为z轴的单位矢量。
当3个角同时变化，三种运动同时存在时，刚体的角速度为3个分角速度的合成。3