基本概念时滞系统

众所周知，有许多实际的系统，譬如，通讯系统、电力系统、网络传输系统等，其当前状态都不可避免地受到过去状态的影响，即当前状态的变化率不仅与当前时刻的状态有关，而且也依赖于过去某时刻或某段时间的状态。系统的这种特性称为时滞，具有时滞的系统称为时滞系统。在研究自然界客观事物的运动规律时由于其复杂性和多样性，总是不可避免地存在滞后现象.因此时滞与时滞系统是现实生活与工程技术中普遍遇到的一个实际问题。它起源于18世纪，在20世纪初期，伴随着系统建模的发展而受到了广泛的重视.在上世纪50和60年代就已经建立起了时滞系统的相关概念和基本理论，并被表达为各种不同的数学模型，现在主要采用泛函微分方程模型的形式。

时滞的存在，一方面使得系统的动态性能变差甚至导致系统不稳定。另一方面，在某些控制系统中人们又可以利用时滞改善控制效果，譬如在重复控制系统中以及有限时间稳定性控制等，都需要利用时滞来达到该目的。这样为了更好地利用时滞来解决实际问题以及避免其不利后果，人们很有必要从理论角度分析与了解时滞对动态系统的影响。

关联大系统关联大系统是由几个相互关联、相互作用的子系统共同构成的复杂大规模系统。随着社会的发展和科学技术的进步，随着社会生产和科学计算水平的不断提高，生产和社会生活中提出的控制和管理问题的规模越来越大，控制的结构也越来越复杂。因此，现代社会口益面临着研究处理规模庞大、结构复杂的系统问题，如电网控制、化工过程、经济管理、生态环境、计算机通信网络、交通运输、航空航天等。这些复杂大系统具有下列显著特征：

1.规模庞大。大系统包含的子系统(小系统)部件、元件甚多。通常，大系统占的空间大，经历的时间长，涉及的范围广，具有分散性。
2.结构复杂。大系统中各子系统、各部件元件之间的相应关系复杂。通常，大系统中不仅包含有物，也包含有人，具有“人一物”、“人一人”、“物一物”之间的多种复杂系统，是主动系统。
3.功能综合。通常大系统的目标是多样的(技术的、经济的、生态的、等等)，因而大系统的功能必是多方面的(质量控制、经营管理、环境保护、等等)、综合性的。
4.复杂因素众多。大系统是多变量、多输入、多输出、多目标、多参数、多干扰的系统。具有不确定性、不确知性。
5.由于大系统具有多目标、多参数、多干扰、高维数等特点，因而其一般需采用复杂的控制策略，且要求对系统的设计具有较强的鲁棒性。

关联大系统中每一个子系统具有系统的局部输入和局部输出。例如，由若干个发电站构成的供电网络，其中每个电站是一个子系统，一电站对网络的供电操作是此供电系统的局部输入，而各电站所采集的本电站运转情况的一些数据就是系统的局部输出。在大系统理论中，由于关联大系统自身的特殊性和存在的广泛性，确定了关联大系统理论的研究具有特殊重要的作用。

对于这些大型系统，系统的不确定性不但存在于各子系统的独立部分而且往往存在于子系统的相互关联项中，集中控制将使得整个控制系统信息交换异常复杂，从而导致系统集成和运行成本提高，系统的可靠性降低，甚至使得系统根本无法正常运行。从系统的实用性、可靠性和经济性等方面考虑，有关集中控制的理论已经不能适应于这样大规模的复杂系统的建模、分析与控制设计，因而引起了人们对大系统理论和方法研究的极大兴趣。从60年代初，“大系统理论”概念被提出，仅仅经过几十年时间，大系统理论已成为控制理论的一个专门领域。

理论研究在一些物理和生物现象中，现在的状态变化率依赖于过去的状态，系统的这种特殊性称之为时滞，时滞现象是客观世界及工程实际中普遍存在的现象，严格地说，在客观世界中“时滞”通常是不可避免的。近年来随着研究的深入开展，人们越来越重视带时滞系统的理论研究，并取得了一定的成果。

时滞非线性关联系统的分散鲁棒镇定问题由于难度较大，目前研究成果比较少。针对非线性系统主要的研究工作可以在一些著作中见到，如著作中系统地总结了非线性系统Lyapunov直接法的思想和方法、技巧。
1992年W ang等针对一类时滞非线性不确定系统考虑了镇定问题，这些都是集中控制的结果。2005年Mrdjan Jankovic在American ControlConference上宣读了他的论文，文中对于结构特殊的非线性系统，利用控制Lyapunov函数得到了镇定条件，这与通常的设定好控制器形状的方法不同，那里考虑到了系统有些部分不可控的问题，不过，这也仍然是一个集中控制的结果。非线性系统集中控制到分散控制的过渡，主要是如何给出关联结构的稳定条件，在某些结构较为简单的关联系统中，这种过渡不是很困难，但是对于一些比较复杂的关联系统，如发电机组构成的电力系统，其关联结构中不仅存在着非线性而且存在着时滞，在考虑这种非线性系统的分散控制的时候多数是采用比较复杂的非线性控制来实现。

关于时滞非线性关联系统的分散鲁棒镇定问题，这里仅仅列举有限结果中最新的几篇文章。1997年Malunoud发表了一篇关于时滞非线性关联系统分散控制的文章文献，其中的假设是系统非线性部分满足Lipschitz条件。这实质上仍然是希望采取线性系统的处理方法来处理非线性问题。2005年Hsiao发表了采用模糊控制解决关联时滞非线性系统分散控制的文章，这是采用模糊方法解决非线性分散控制的新结果。Hua等研究了一类时滞非线性关联系统的分散输出反馈镇定问题，这类系统具有典型的三角结构，因而采用Backstepping方法来设计镇定与时滞无关的控制器。此类系统和方法是集中系统的推广。对于具体的关联电力系统可以看到有文献的工作，这些文献从实际电力控制器件入手，考虑各种不同的非线性控制规律，但是那里没有考虑到时滞的影响，需要特别指出的是，电力系统即使在反馈线性化之后，如果不做进一步的简化，仍然不能得到一个完整的线性系统，而且还可以看到，电力系统的关联项往往是不确定的、带有延迟的。

目前针对关联大系统的研究方法多以广义Lyapnuov方程、广义Ricaati方程(或不等式)或其它方法为主，存在计算复杂、求解困难等问题。线性矩阵不等式((LMI)处理方法可以克服上述处理方法中存在的许多不足，应用线性矩阵不等式来解决系统与控制问题己成为这些领域中的一大研究热点。1

方法现今判断具有参数不确定性的时滞关联系统稳定性问题其主要的方法有：
(1)应用Lyapunov稳定性理论，即将一个大系统分解成一些子系统再根据子系统构造合适的Lyapunov函数，然后集成起来形成向量Lyapunov函数，研究整个大系统的稳定性以及关联稳定性。
(2)求解系统微分方程的一般解，通过对解的估计来获得系统的稳定条件。

关联时滞大系统的分散控制理论时滞广泛存在于化工过程，通讯，网络，航天，电力，电子，经济，金融，交通等等的系统中，是导致实际系统性能恶化甚至不稳定的重要原因之一。因此时滞系统研究有着广泛的实际应用和工程背景，并受到了国内外工程界和理论界研究学者的广泛关注。时滞动态系统可由滞后型泛函微分方程描述，其控制系统的分析和综合设计因涉及无穷极点的问题，所以增加了解决问题的难度。随着泛函微分方程等相关数学理论的发展完善，以及四十多年来大量学者的努力。近些年来时滞系统的分析和综合在国内外控制界形成了持续的研究热点。尤其时滞系统的稳定性得到了控制理论界广泛的关注。

纵观时滞系统稳定性的研究和发展，有两条主要研究途径，即时域方法和频域方法两大类。频域方法是最早的稳定性研究方法，它通过特征方程根的分布或复Lyapunov矩阵函数方程的解来判别稳定性，只适用于定常时滞系统。时域方法主要有Lyapunov泛函方法和Razumikhin函数方法，它们分别由Krosovskii和Razumikhin创立于上一世纪五十年代末，是时滞系统稳定性分析的一般方法上一世纪九十年代以来，由于没有一般的方法来构造Lyapunov泛函或Lyapunov函数，所得到的条件一般也只是一些存在性条件而且不可能获得一般解。后来，由于利用Riccati方程或线性矩阵不等式, Matlab工具箱的求解方法，利用它们的解来构造Lyapunov泛函或Lyapunov函数，使得时域法在线性系统的稳定性分析中起到了非常重要的作用。

关于时滞系统稳定性的研究，时滞无关的结果是比较‘保守的，而相关时滞具有很大的灵活性，也广泛存在于各种工业控制系统中。由于系统中存在着相关时滞项，使得系统的稳定性不能得到保证。通过对Lyapunov函数求导后，得到的关联时滞控制器求解条件是一个非线性矩阵不等式，这给理论研究和实际的工业控制带来了困难。通过许多学者的共同努力，关联时滞系统的分散鲁棒稳定问题研究在近几年来取得了许多研究成果。总的看来，研究工作的主体是系统的分散镇定这一基础问题，而对于其它的控制目标的研究工作相对薄弱一些。对于关联时滞大系统的分散鲁棒镇定问题，因为系统结构和控制器结构都有较为统一的表达方式，以矩阵理论和方法为研究工具吸引了广大研究人员的关注。在关联时滞系统分散鲁棒镇定方面的研究工作主要有：

Lee和Radovi。研究了线性连续时间和离散时间关联系统的分散镇定问题。考虑的时滞主要是在关联项上。Lee和Radovic采用的是局部无记忆状态反馈，没有考虑时滞对镇定的影响。Hu也研究了这类系统的分散镇定问题，给出了分散状态反馈和状态观测器存在与时滞无关的充分条件。 Hu给出的是Riccati方程形式充分条件。并说明Lee和Radovic加在互联上的限制是不必要的。可是Trinh和Aldeen后来又证明了Hu的结果仅仅适合于输入，输出的数目相等或大于状态数目的情形。 Wu研究了关联项中含有不确定性大系统的分散输出反馈控制镇定问题。pucheriah针对具有外部扰动，模型的不确定参数，时变时滞和非线性输入的关联系统研究了其分散镇定问题。可是在反馈控制器的设计中没有考虑时滞的影响。Xie Shoulie和Xie Liha研究了具有时滞的随机关联系统的分散鲁棒镇定问题。主要采用LMI方法， LMI条件中不含有时滞的信息。桂卫华和谢永芳等针对有数值界不确定线性关联时滞大系统，给出了分散鲁棒控制器存在不依赖于时滞的LMI的充分条件。余昭旭和孙继涛针对关联矩阵的不同分解，建立了变时滞线性关联时滞大系统的分散镇定的充分条件。肯布工等针对具有未知时滞的关联系统，在一定关联分解情况下，建立了可由LMI表示的分散镇定条件。近期的研究工作有：刘晓志等采用还原方法研究了一类具有多输入时滞及互联时滞的不确定关联系统的分散镇定问题。关新平等研究了一类离散时滞关联系统的时滞相关鲁棒分散镇定问题。Wu等提出了自由权矩阵的方法, Li等研究了积分不等式的方法来研究了线性不确定系统时滞相关鲁棒稳定性。等研究了关联时滞系统的保成本控制，张群亮等研究了关联时滞系统的H∞滤波，刘碧玉等研究了离散系统的时滞相关输出反馈控制。宋长会等研究了一类线性时滞系统的稳定性问题，赵立英等研究了具有时滞和的连续系统相关稳定性问题，吴立刚等研究了不确定随机系统的稳定性条件。

从以上的研究现状可以看出，关联时滞的研究仍然是一个难点。大多数的关联时滞系统的研究都集中在简单的稳定性研究或者状态反馈控制上。并且，时滞的处理上，时滞相关稳定性的许多结果还难以直接应用到控制器的设计而不牺牲保守性。因此，关联时滞大系统的分散鲁棒控制仍然有其重大的理论与工程意义，它既考虑到了系统的关联性，又考虑到了系统中可能存在的时滞，是当前控制理论和工程界研究的一个热点问题。并且，对于时滞相关保守性的研究，也具有一定的意义。对它的研究将可以在理论上有所突破，在实践中能够产生出更加有效的控制核心技术。2