如果函数f在点x连续，则称x是函数f的连续点；如果函数f在点x不连续，则称x是函数f的间断点。

设函数 在某 上有定义。若 在点 无定义，或 在点 有定义而不连续，则称点 为函数 的间断点或不连续点。

若 为函数 的间断点，则必出现下列情形之一：

（i） 在点 无定义或极限 不存在；

（ii）） 在点 有定义且极限 存在，但

据此，我们对函数的间断点作如下分类1：

若

而 在点 无定义，或有定义但 ，则称 为 的可去间断点。

例如，对于函数 ，因 ，而

故 为 的可去间断点。又如函数 ，由于 ，而 在 无定义，所以 是函数 的可去间断点。

设 为函数 的可去间断点，且 。我们按如下方法定义一个函数 ：当 时， ；当 时， 。易见，对于函数 ， 是它的连续点。例如，对上述的 ，我们定义

则 在 连续。

若函数 在点 的左、右极限都存在，但

则称点 为函数 的跳跃间断点。

例如，对函数 ，当 （ 为整数）时有

所以在整数点上函数 的左、右极限不相等，从而整数点都是函数 的跳跃间断点。

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在。

函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为第二类间断点。

例如，函数 当 不存在有限的极限，故 是 的第二类间断点。函数 在点 处的左、右极限都不存在，故 是 的第二类间断点。当趋近于 时，函数在 和 之间取值，这样的间断点称为振荡间断点。

无穷间断点和振荡间断点都属于第二类间断点。

便于理解和记忆，间断点的分类概括如下：

（1）狄利克雷函数2

在定义域 上每一点 都是第二类间断点。

（2）函数

仅在点 连续， 时是第二类间断点。

（3）整数部函数

与小数部函数

都是在 为整数时是第一类不可去间断点，在这些点仍是右连续的。

（4）黎曼函数

在每一个无理点都连续，而在异与零的有理点都不连续。

（5）函数

在点 附近函数振荡而无极限， 是它的第二类间断点。

（6）函数

在点 是可去间断点，并且

（7）函数

　　 在点 是可去间断点。

（8）函数

在点 是第二类间断点。

例1 求分段函数

的间断点并判断其类型。

解 因为

所以， 是 的跳跃间断点。

又因为

所以在处连续。

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