级数收敛的定义

设有数列 ，此数列的项依次用加号连接起来，即 ，或 ，称为数值级数，其中 称为级数的第 项或通项，取级数前 项的和为 ，称为级数的 项部分和。若级数的部分和数列 收敛，称此级数收敛，否则，称该级数发散1。

根式判别法定理 (根式判别法)有正项级数 ，存在常数 及 ，

1）若对一切 ，成立不等式

则级数 收敛。

2）若对一切 ，成立不等式

则级数 发散。

**证明：**由1）中条件有

因为上式右边等比级数当 时收敛，故由比较原则，这时有级数 也收敛。对于情形 2），由条件可以推出

这显然是不可能的，由级数收敛的必要条件可知，级数是发散的。证毕。

推论1（根式判别法的极限形式）设有正项级数 ，且

则

1）当 时，级数 收敛。

2）当 时，级数 发散。

推论2设有正项级数 ，且

则

1）当 时，级数 收敛。

2）当 时，级数 发散。

根式判别法的局限性根式判别法本质上还是比较判别法，是将级数和几何级数 2比较得到的，是在正项级数敛散性判别中是一个十分重要的方法，不少级数均可依此法判别其敛散性。

从理论上来说，凡是能用比式判别法判断其敛散性的级数，必定也能用根式判别法来判断其敛散性，但反之不成立。这说明根式判别法较比较判别法有更大的适用性，但是，根式判别法也有其失效性。在根式判别法只讨论了 的情况,并没有考虑 的情况,也没有考虑 不存在又是怎样的情况。例如 都有

但前者收敛，后者发散。这说明这种判别法存在着一定的不足。