酉变换(unitary transformation)是指酉空间V的等度量变换。对∀α，β∈V，满足条件(σ(α)，σ(β))=(α，β)的线性变换σ称为酉变换。对n维酉空间V的每一酉变换σ，都存在V的标准正交基，使σ关于此基的矩阵为对角形，且对角线上元素的模为1。以下陈述都是线性变换σ为酉变换的充分必要条件：1.对酉空间的每一向量α，|σ(α)|=|α|；2.σ关于某一组标准正交基的矩阵是酉矩阵；3.若ε1，ε2，…，εn是标准正交基，则σ(ε1)，σ(ε2)，…，σ(εn)也是标准正交基1。酉变换是不变内积的变换，在欧氏空间中则称为正交变换。

基本介绍酉变换是一种线性变换。设σ是酉空间V的线性变换，若对任意的α，β∈V，(σ(α)，σ(β))=(α，β)，则称σ为V上的酉变换。设σ是n维酉空间V的酉变换，则存在V的标准正交基，使σ关于此基的矩阵为对角形，且对角线上元素的模为1。设σ是n维酉空间V的线性变换，则下列命题等价：

1.σ是酉变换；

2.|σ(α)|=|α|，对任意的α∈V；

3.σ关于标准正交基的矩阵是酉矩阵（酉变换(或正交变换)在标准正交基下的矩阵表示是酉矩阵(或正交矩阵)）；

4.若ε1，ε2，…，εn是V的标准正交基，则σ(ε1)，σ(ε2)，…，σ(εn)也是V的标准正交基2。

相关结论定理1 设V为酉空间，则

A为V的酉变换A把V的规范正交基仍变为规范正交基3。

定理2 设V为酉空间，则

A为V的酉变换A关于V的任一个规范正交基的矩阵是酉矩阵。3

在酉空间里，同样有对称变换。

定理3的酉变换是线性变换4。

相关概念对称变换定义 设V为酉空间，A∈L(V)，如果

则称线性变换A为V的对称变换3。

对于对称变换，我们有下面的结论。

定义 设，如果

对称矩阵H为埃尔米特(Hermite)矩阵。

定理 设V为酉空问，则

A为V的对称变换A关于V的任一个规范正交基的矩阵是埃尔米特矩阵。

关于对称变换与埃尔米特矩阵还有下面的结论。

定理 设V为酉空间，A为V的对称变换，则

(1)A的特征值是实数；

(2)A的属于不同特征值的特征向量正交；

(3)存在V的一个规范正交基，使得A关于这个基的矩阵是对角矩阵。

定理 设H是为n阶埃尔米特矩阵，则存在n阶酉矩阵U，使得是一个对角矩阵。

ie：埃尔米特矩阵一定“酉相似”于一个对角矩阵3。

Household变换设，且。则由矩阵所确定的线性变换是中的酉变换。

Household矩阵有以下性质：

①；(Hermite矩阵)

②；(酉矩阵)

③；(对合阵)

④；(自逆阵)

⑤若，则。

Household变换也称为初等反射变换，而Household矩阵也称为初等反射矩阵4。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所