一维射影对应(one-dimensional projective correspondence)是透视对应的推广，两个一维基本形(点列或线束)间的一一对应是射影对应的充分必要条件是任何四元素的交比与其对应的四元素的交比相等，两个一维基本形间的射影对应是透视对应的充分必要条件是它们的公共元素自对应1。

基本介绍设有点列 ， 关于各自的一维射影坐标系的坐标分别为 及 ，则满足

由点列 到 的一一映射 ，叫做由 到 的射影对应，记作 。

对偶地，可以定义线束 到 的射影对应。两点列间和两线束间的射影对应统称为一维射影对应，

显然，一维射影对应(1)的逆对应也是一维射影对应。

特别地，称直线 到自身的射影对应为直线 上的射影变换，这时(1)中 与 认为是任一对对应点关于同一坐标系的坐标。

只要适当选择坐标系，一维射影对应式(1)可化为更简单的形式2。

相关定理及证明定理1 设 为点列 到 的射影对应，则对于 上任意确定的射影坐标系，必存在'上的一个射影坐标系，使得 了表示为

证：设对于上某个射影坐标系可表示为2

由定理知在'上必存在射影坐标系，使上任一点x'在下的坐标之间满足关系式

由(1')，(2')知与间必满足(2)，其中。

定理2 两点列间的射影对应保持四点的交比不变（以下简称为“保交比”）；反之，两直线间保持交比不变的一一对应是射影对应2。

推论 两拓广直线间的中心射影是射影对应。

定理3 两点列间的射影对应由三对相异对应点唯一决定。

证 设上三相异点y，z，u分别对应上三相异点；又设分别是和上以y,z,u和y'，z'，u'为参考点的射影坐标，则到的射影对应，显然使得y，z，u分别对应y'，z'，u'，故存在性得证。

另设射影对应也使y，z，u分别对应y'，z'，u'，把这三对对应点的坐标分别代入式(1)得

于是 。

从而的表达式与相同，故，唯一性得证。

推论 直线上的射影变换，若使三个点不变（即有三个固定点），则必为恒等变换2。

附注一维射影对应式(3.1.1)的非齐次形式为

也可写成的双线性方程

一维射影对应的特征性质是一一对应保交比，也可说成是一一对应保调和比，事实上有下述定理。

定理4 一个把直线上的点变为直线上的点的一一对应，若把调和共轭的四个点变成调和共轭的四个点，则这个对应是射影对应，该定理称达布(Darboux)定理2。

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武伟 - 高级工程师 - 天津直升机有限责任公司