等边半正多角形(equilateral semiregular polygon)亦称等边半正多边形，是一种特殊的凸多角形。顶点个数为偶数，所有边都相等，且相间的角相等的凸多角形称为等边半正多角形，若在六边形ABCDEF中，AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠C=∠E，∠B=∠D=∠F，因而它是等边半正多角形1。

基本概念定义边数为偶数的凸多边形，假若其中所有的边都相等，且相间的角相等，这个凸多边形叫做等边半正多边形(等****边半正多角形) 。

相关概念凸多边形中，若它所有的边都相等，且所有的角都相等，叫做正多边形。

边数为偶数的凸多边形，假若其中相间的边相等且所有角都相等，这个凸多边形叫做等角半正多边形(等角半正多角形)。

局部凸的星形多边形，若它的所有边都相等，且所有角都相等，叫做正星形多边形(正星形多角形)，例如正五角星形。

边数为偶数的局部凸的星形多边形，若所有的边相等，相间的角相等，叫做等边半正星形多边形(等边半正星形多角形)，边数为偶数的局部凸的星形多边形，若所有的角相等，相间的边相等，叫做等角半正星形多边形。

相关定理定理1 等边半正多边形各角的平分线共点，这点到各边等距离2。

证明 在等边半正多边形ABC......K中，设∠ABC、∠BCD的平分线相交于O，联OA、 OD(图3)，因BC=CD，OC = OC，∠OCB=∠OCD，所以 △OCB≌△OCD，所以∠OBC=∠ODC，但∠OBC=1/2ABC，∠ABC=∠CDE，所以∠ODC=1/2∠CDE，所以O点也在∠CDE的平分线上，同理，O点也在其它各角的平分线上，所以等边半正多边形各角的平分线交于一点。因为角的平分线上的点到角的两边等距离，所以这点到各边等距离。

定理2 任意(凸的或星形的)正多角形或等边半正多角形可有一内切圆。

证明假设AB，BC，CD和DE(图4)为一正多角形或等边半正多角形相连续的四边，K为直线AB和CD的交点，L为直线BC和DE的交点(如果相间而取的二边，如AB与CD平行，则边BC与DE亦将平行(因为这个多角形相间而取的角应相等)，点E与点A重合，我们便得一个菱形，对它来说，这定理也是正确的)。

三角形BCK和DCL相等(BC = DC，∠KBC =∠LDC，∠KCB =∠LCD)，所以三角形BCK的边BC外的旁切圆半径等于三角形DCL的对应的旁切圆半径，因为该二圆心在∠BCD的平分线CX上，所以该二圆心重合，因而两圆周重合。

这样就得到了与射线BA，DE以及与边BC，CD相切的圆周，对于BC，CD，DE各边以及次一边EF重复同样的论述时，我们相信，该圆周与边DE及射线EF相切，等。

定理3 任意(凸的或星形的)正多角形或等角半正多角形可有一外接圆。

证明假设A，B，C，D是所研究的多角形的四个相连续的顶点(图5)，O为三角形ABC的外接圆心。

三角形ABC与DCB相等(AB = DC，BC = CB，∠ABC=∠DCB)，因而三角形ABC的外接圆半径OA = OB = OC，与三角形DCB的外接圆半径相等。其次，二外接圆的圆心都在线段BC的垂直平分线上。最后，二圆心在直线BC的同侧，因为A和D二点在该直线的同侧(由于凸的或局部凸的多角形)。由此推得，圆周ABC与BCD的圆心重合。

可见通过三顶点A，B，C的圆周必通过点D，按照同样的考察方法可知该圆周也通过其余的顶点3。

定理2及3系1正多角形的外接圆心及内切圆心重合。

事实上，在这种情形下三角形OAB，OBC及OCD相等，因而外接圆心到各边的距离相等。

系****2等角半正多角形，相间而取的边与同一圆周相切，这样就得到两个圆周，它们的圆心与外接圆心重合。

事实上，在图5上，三角形OAB与OCD相等，所以相间而取的边到外接圆心的距离相等。

系3等边半正多角形，相间而取的顶点在同一圆周上，这样就得到两个圆周，它们的圆心与内切圆心重合。

事实上，在图4上有OA=OC=OE，OB=OD3。

定理4正多边形各边的垂直平分线共点，各角的平分线共点，且这两点是同一点。

推论正多边形的中心到各顶点等距离，到各边也等距离，并且中心角等于( n为边数)。

定理5等角半正多边形各边的垂直平分线共点，这点到各顶点等距离2。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学