对于著名的数学定理毕达哥拉斯定理:在一个边长为a、b、c的直角三角形中,a²+b²=c²。尤其理想的情况是a、b、c均为整数,则称为毕达哥拉斯三元数组。例如3、4、5和5、12、13都构成毕达哥拉斯三元数组(因为3²+4²=5²,5²+12²=25+144=169=13²)。人们可以确定所有的毕达哥拉斯三元数组,古典时期人们就已经探讨了这个问题,例如在丢番图(Diophantus,246-330)的《算术》一书中就有所记录1。
基本介绍毕达哥拉斯三元数组(Pythagorean triple)亦称勾股数组,又称商高数组,是一个著名的不定方程问题,指三元二次不定方程的正整数解。若正整数x,y,z能使x²+y²=z²成立,则(x,y,z)是一个毕达哥拉斯三元数组2。
本原毕达哥拉斯三元数组当(x,y,z)=1时,则称(x,y,z)为本原毕达哥拉斯三元数组。找出所有毕达哥拉斯三元数组就等同于求出不定方程
的所有正整数解。本原毕达哥拉斯三元数组亦称为方程(1)的本原解,它有以下性质:
1.若(x,y,z)是满足方程(1)的本原毕达哥拉斯三元数组,则x,y中有且仅有一数为偶数。因此,z必为奇数。
2.若(x,y,z)是满足方程(1)的本原毕达哥拉斯三元数组,且设x为偶数,则存在正整数m和n,m>n,(m,n)=1,m n(mod 2),能使x=2mn,y=m²-n²,z=m²+n²成立。
3.若x=2mn,y=m²-n²,z=m²+n²,则(x,y,z)是满足方程(1)的毕达哥拉斯三元数组。如果还有m>n>0,(m,n)=1和m n(mod 2),则(x,y,z)是本原毕达哥拉斯三元数组。
相关介绍中国古代数学书《周髀算经》中记载了托古传闻商高答周公:“故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五”。说明至少在成书时已经知道方程(1)的一个特解。毕达哥拉斯(Pythagoras)创立毕达哥拉斯学派,在数学方面给出了方程(1)的部分正整数解,后被欧几里得(Euclid)记入《几何原本》中,并把表达直角三角形三边关系的(1)式称为毕达哥拉斯定理。费马(P.deFermat)从1637年开始对丢番图(Diophantus)的《算术》进行评注,导致他提出了在数论发展史上非常重要的10个问题,其中有3个与勾股数组有关的问题是:
1.形如4n+1的素数能够而且只能够以一种方式表达为两个平方数之和。1749年,欧拉(L.Euler)已给出了证明。近代有人把素数p=x²+y²中的x,y具体表示为p=(s(r)/2)²+(s(n)/2)²,其中r,n满足勒让德符号
并且
2.每一个正整数能够表成四个整数的平方和(参见“华林问题”)。
3.不定方程x4+y4=z²,(x,y)=1,没有xy≠0的整数解。
还有一个与毕达哥拉斯三元数组有关的猜想:设(x,y,z)是满足不定方程(1)的毕达哥拉斯三元数组,a,b,c∈Z+,且满足xa+yb=zc,则a=b=c=2,此猜想仍未彻底解决2。
本词条内容贡献者为:
王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所