弗罗贝尼乌斯不等式(Frobenius inequality)亦称西尔维斯特不等式，是一种特殊不等式，指矩阵乘积的秩与其因子的秩之间的重要关系式。设矩阵A和B是可乘的，而B和C是可乘的，则r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)，在此不等式中，若A为m×n矩阵，B为n阶单位矩阵，C为n×s矩阵，则r(AC)≥r(A)+r(C)-n，有的书籍也称第一种情况为弗罗贝尼乌斯不等式，第二种情况为西尔维斯特不等式1。

基本介绍设A、B、C分别为m×n，n×s，s×t矩阵，则：r(ABC)≥r(AB)+r(BC)－r(B)。

设，则r(AB)≥r(A)+r(B)－n2。

弗罗贝尼乌斯不等式的证明弗罗贝纽斯(Frobenius)不等式

设A、B、C分别为m×n，n×s，s×t矩阵，则：r(ABC)≥r(AB)+r(BC)－r(B)。

证明： 只要证明：

即可。

事实上，因为

所以

即

下面西尔维斯特(Sylvester)不等式也可由弗罗贝纽斯不等式的直接推得。故有的书籍也将其称为弗罗贝纽斯不等式。

西尔维斯特(Sylvester)不等式

设，则r(AB)≥r(A)+r(B)－n。

证明 只要证明：

事实上，由

知

证完2。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学