交角公式是计算角的一种公式，设点Pi的直角坐标为(xi，yi)(i=0，1，2)，则以射线P0P1与P0P2为边的角θ∈(0，π)可由余弦定理而得。可以从两向量的夹角思考交角公式。

基本介绍****交角公式的依据——余弦定理 余弦定理是关于三角形边角关系的重要定理之一。该定理断言：三角形任一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。若a，b，c分别表示△ABC中A，B，C的对边，则余弦定理可表述为：

余弦定理还可以用以下形式表达1：

交角公式设点Pi的直角坐标为(xi，yi)(i=0，1，2)，则以射线P0P1与P0P2为边的角θ∈(0，π)可由余弦定理（也可以从两向量的交角的角度去思考）而得

由此可得平面解析几何中常用的正切公式1

相关介绍两向量的夹角设有两个非零向量a，b，任取空间一点O，作 设φ=∠AOB，规定0≤φ≤π，则φ称为向量a与b的夹角。通常记作

或

若a与b中有一个为零向量，则规定它们的夹角可在0到π之间任意取值2。

向量的夹角是平面或空间中两非零向量间的夹角.设a，b是两个非零向量，自任意一点O作 则由射线OA和OB构成的角称为向量a与b的夹角，记为∠(a，b)。若a与b同向，则∠(a，b)=0；若a与b反向，则∠(a，b)=π；若a与b不平行，则∠(a，b)∈(0，π)。在空间直角坐标系中，已知向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，那么这两向量的夹角∠(a，b)可由下式惟一确定：

（此公式是求角的重要依据）

零向量与任一向量的夹角不确定1。

内积的性质1.e是单位向量，则e·a=a·e=|a|cos

2.a⊥b⇔a·b=0(a，b为非零向量)；

3.a·a=|a|或|a|= ；

4.cos= ；

5.|a·b|≤|a||b|；

说明：(1)两个向量的数量积不同于它们的加减运算或数乘，其结果不是向量而实数，它的符号由两向量的夹角的余弦来决定.

注意规定a·0=0。

(2)关于数量积的运算律，一定要注意以下几点：

①a=0，则a·b=0，但是由a·b=0，不能得到a=0或b=0.因为a⊥b时，a·b=0；

②a=c时，a·b=c·b，但是由a·b=c·b，不能得到a=c，即消去律不成立；

③(a·b)c≠a(b·c)，因为(a·b)c与c平行，a(b·c)与a平行，一般地，a，c不共线，故(a·b)c≠a(b·c)。

(3)数量积在处理有关长度、角度、垂直问题方面有重要的作用，应充分注意下列三个公式.

①|a|= ，这是处理与长度(距离)有关问题的依据；

②cosθ= ，这是求角的主要依据；

③a·b=0⇔a⊥b(a，b为非零向量)，这是判定垂直的主要依据，应用时要注意非零向量这个条件2。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学