比恩代数(Byrne algebra)是布尔代数的一种变形，是由比恩(Byrne)提出的一个公理系统〈B，·，′，0〉，其中B是集合，**·**是B上一个二元运算， ′ 是B上的一个一元运算，0是B中元素1。

基本介绍布尔代数的公理系统很多，下面的公理系统是Byrne提出的公理系统演变而来的。

比恩代数是由比恩提出的一个公理系统〈B，·，′，0〉(其中B是集合，**·**是B上二元运算，′是B上一元运算，0是B中元素)，比恩代数满足下列公理：

1.对任何x，y∈B有x·y=y·x.

2.对任何x，y，z∈B，有

x·(y·z)=(x·y)·z.

3.x·x=x.

4.x·y′=0↔x·y=x.

5.0≠0′.

这个公理系统与布尔代数〈B，+，·，′，0，1〉存在一一对应关系，这只要在比恩公理系统中定义：1为0′，x+y为(x′·y′)′，x≤y当x·y=x，即可证明：对任意一个布尔代数〈B，+，·，′，0，1〉，代数系统〈B，·，′，0〉是比恩代数;反过来，对任一个比恩代数〈B，·，′，0〉，代数系统〈B，+，·，′，0，1〉是一个布尔代数1。

相关定理比恩代数〈B，·，′，0〉中的二元运算在有的书籍上也用“∧”表示，下文我们就用〈B，∧，′，0〉表示比恩代数。

对任意一个布尔代数〈B，∧，∨，′，0，1〉， 结构〈B，∧，′，0〉是Byrne代数，下面的定理建立了逆命题2。

定理1 对于任一Byrne代数〈B，∧，′，0〉，结构〈B，∧，∨，′，0，1〉是一个布尔代数。显然，

(a)x∧x'=0

(b) x∧y' =0↔x≤y

(c) x≤x

(d) x≤y&y≤x→x=y

(e)x≤y&y≤z→x≤z :

(f)x∧y≤x

(g) x∧0=0

(h)x"=x

(i)x∧y= (x'∨y')'

(j)x∨y=y∨x

(k)x∨( y∨z)= (x∨y)∨z

(l)x∨x=x

(m) x≤y↔y'≤x'

(n)x∨y'=1↔x∨y=x

(o)对偶性:用Byrne代数语言(即使用符号∧, ', 0)表示的任何定理，当用∨代替∧，用1代替0时，変成为另一定理，在这个代换下，所定义的x∨y〈即(x'∧y')')変成(x'∨y')',即(x∧y)，所定义的1 (即0' )变成1'，由(h)它等于0，所以在相座的布尓代数中，一个定理的对偶也是一个定理。

(p)x≤y↔x∨y=y(因此x≤y的对偶等价于y≤x)。

(q)x∧1=x

(r)x∨0=x

(s)x∨x'=1

(t) x≤x∨y

(u)x∨(x∧y)=x∧(x∨y)=x

(v)x≤y→( x∧z≤y∧z&x∨z≤y∨z )

(w) (x≤z&y≤z)→x∨y≤z

(x) (z≤x&z≤y )→z≤x∧y

(y)x∧( x'∨y ) =x∧y

(z1)x∧( y∨z)= (x∧y)∨(x∧z)

(z2)x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z)

(z3)布尓代数的公理(1)一(9)成立2。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学