英国逻辑学家汤姆逊在1962年发表的论文《论一些悖论》，对一些悖论的构成方法进行了分析。指出罗素悖论、理发师悖论、格雷林悖论、理查德悖论都是建立在康托对角线证法之上。现代一些逻辑学家几乎把所有逻辑悖论(集合论的和语义学方面的)都叫做“对角线悖论”，包括哥德尔不完全性定理1。

基本介绍汤姆森指出：罗素悖论、格瑞林悖论和里夏尔悖论都是建立在康托尔对角线方法之上。现代一些逻辑学家几乎把所有逻辑悖论(集合论的和语义学的)都称为对角线悖论，包括著名的哥德尔不完全性定理。

“对角线证法"是康托尔在无穷集合的研究中得出的。1873年康托尔在他与戴德金的一次通信中提出实数集是否能和自然数集构成一一对应的问题。康托尔于1874年的文章给出了一个复杂的证明之后，他又给出了一个不依赖于无理数的技术性的证明，这就是熟知的优美而深刻的“对角线证法"，这是用完全直观的无穷阶方阵的“对角线”构造了一个不包含在某个假设为已知的集合的元素，也就是在一个特定的系统中构造一个“自我否定”，这正是这一方法的实质。在悖论各种证明中，“对角线证法’’得到了离开直观的发挥和推广。

“对角线证法”不断地反复出现在递归函数论、计算机科学中。还出现在哥德尔第一不完全性定理的证明和A.塔斯基关于真理的论证中。

汤姆逊在《论一些悖论》一文中对康托尔的“对角线证法"进行了更一般抽象的表示。安德逊认为此文是关于“对角线证法”论述得最清楚简要的文章1。

对角线方法与对角线悖论对角线方法是一种重要的反证法，为康托尔(G.F.P.Cantor)于1874年所创造，它第一次用来证明实数集是不可数的，为了证明R是不可数的，只要证明[0，1]R不可数，现用反证法，设[0，1]可数，则可设[0，1]={a1，a2，…，an，…}.由于an∈[0，1]，故可用无穷十进制小数表示，并将这些数依次列出：

a1=0.a11a12a13… a1n…

a2=0.a21a22a23… a2n…

a3=0.a31a32a33… a3n…

…………………………

an=0.an1an2an3… ann…

…………………………

现在定义一数b=0.b1b2… bn…，其中

则显然b∈[0，1]。但b≠ai，i=1，2，…，n，…这样就与[0，1]可数相矛盾，即证明了[0，1]不可数，从而R不可数.这种用完全直观的无穷阶方阵的对角线构造出一个不包含在某个集合的元素，也就是在特定的系统中构造一个自我否定，正是在这一方法精神实质的指导下，对角线方法得到了脱离直观的发挥和推广，康托尔用对角线方法证明了他著名的定理：对任意集合A，|P(A)|>|A|，现在，对角线方法反复地出现在递归函数论、计算机科学中，还出现在哥德尔(K.Gödel)的第一不完全性定理的证明和塔尔斯基(A.Tarski)关于真理的论证中，汤姆森(Thomson，W.(L.K.))在《论一些悖论》一文中对对角线方法进行了更一般的抽象表示：设S是一集合，P是一个二元谓词，对每个b∈S定义一个一元谓词：

Pb(a)P(a，b) (∀a，b∈S)，

则对角线引理即为：设P为二元谓词，定义一个一元谓词Q为：

Q(a)P(a，a) (∀a∈S)，

则Q(a)与所有的Pb(a)不同，∀b∈S.可以看出对角线证法的关键在于构成一个自我否定的例外，作为前提的外部关系：Pb(a)P(a，b)没有矛盾，而当把二元关系变为否定的内部的一元关系(P(b，b))的特殊情形时，出现了矛盾，在前提中并没有错误，而是在作为外部关系的理论形式逻辑推理中出现了内部的自我否定P(b，b)P(b，b)2。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学