巴拿赫流形是有限维流形的无穷维推广，巴拿赫流形一般均指巴拿赫微分流形，光滑流形一般是指C∞流形。

简介巴拿赫流形是有限维流形的无穷维推广。

设M是豪斯多夫拓扑空间，E是巴拿赫空间。若对于M上的每一点p，均存在p的开邻域U与从U到E中某开集上的同胚映射φ:U→p(U) E，则称M为以E为模的巴拿赫拓扑流形或者C0巴拿赫流形。

这时每个(U,φ)称为M上的个区图。

性质设M是以E为模的C0巴拿赫流形，r是某个正整数或+∞，(Uα,φα)与(Uβ,φβ)是M上的两个区图。若Uα∩Uβ=∅，或当Uα∩Uβ≠∅时其传递函数是Cr微分同胚，则称这两个区图是Cr相容的。

设D是由M上的一些区图所成之族。若D中任意两个成员均是Cr相容的，且D构成M的开覆盖，则称D为M上的一个Cr图册。如果M上的一个Cr图册D在Cr相容的意义下还是极大的，即不能在D中再添加新的成员使其仍保持Cr相容性，则称D为M上的一个Cr微分结构。

特殊巴拿赫流形M连同其上指定的一个Cr微分结构D，称为以E为模的Cr巴拿赫流形，记为(M,D)。由于M上的一个C图册总可惟一地生成一个极大的Cr图册，因此当给定了M上的一个Cr图册D（不必极大）时，亦称(M,D)是Cr巴拿赫流形。

C巴拿赫流形(M,ID)上的区图指的是D中的成员。当p∈Uα时，(M,D)上的区图(Uα,φα)亦称为在点p处的局部坐标系。r≥1时的Cr巴拿赫流形称为巴拿赫微分流形。如无特别说明，

巴拿赫流形一般均指巴拿赫微分流形，光滑流形一般是指C∞流形。

巴拿赫空间E本身，连同其上的一个C∞图册D={(E,I)}（此图册仅由一个成员组成，其中I为E上的恒同映射），成为一个以E为模的C∞巴拿赫流形。通常说到E是巴拿赫流形时即是在此意义下而言。1

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李宗秀 - 副教授 - 黑龙江财经学院