周期函数是一类重要的特殊函数，其性质受到广泛关注。主要研究集中在其最小正周期的存在性、周期函数和函数的周期性等问题。

周期函数的定义：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

根据该定义可得到以下两个性质：

（1）如果f（x）定义在R上，且满足f（x+a）=f（x+b），那么f（x）是|a-b| (a-b≠0) 为周期的周期函数。

证明因为f（x+a）=f（x+b），所以x用x-b代换得：f（x+a-b）=f（x），故命题成立。

（2）如果f（x）定义在R上，且满足f（x+a）=-f（x+b），那么f（x）是2|a-b| (a-b≠0) 为周期的周期函数。

证明因为f（x+a）=-f（x+b），所以x用x-b代换得：f（x+a-b） =-f（x），x再用x+a-b代换得：f（x+2a-2b）=-f（x+a-b），因此f（x+2a-2b）=f（x）故命题成立。

学习周期函数时，经常会遇到以下几个问题：

问题1：函数的周期都是指函数的最小正周期吗？

我们知道，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫周期函数，非零常数T则称为这个函数的周期。一般地，如果不加特别说明，我们都可以认为周期T是指函数的最小正周期。但若f（x+T）=f（x），此时的T并不一定是函数f（x）的周期。

例如sin（x+π）=sin x对于x=0，π，2π，…都成立，但π并不是f（x）=sin x的周期，因为当x= 时，sin（x+π）≠sin x,f（x）=sin x的周期实际上为2π。

同时，还有些周期函数不存在最小正周期。如狄里克雷函数D（x）=是没有最小正周期的函数。

问题2：求函数周期的常用方法有哪些？

求周期常用的方法有：定义法，公式法，图象法。

定义法较为简单，我们直接利用定义使f（x+T）=f（x），即可得出函数的周期。

公式法主要是利用公式T=求出函数的周期。

图像法可以通过下边一个例题来帮助我们了解周期函数。

例：求f（x）=||的周期。

解：绘制f（x）=||的函数图图像，由图可知函数的周期为。

本文由石家庄市藁城区第九中学一级教师刘丽芳进行科学性把关。

新华网科普事业部

科普中国-科学原理一点通

联合出品

更多精彩内容，请下载科普中国客户端。

本作品为“科普中国-科学原理一点通”原创，转载时务请注明出处。