柯西简介

柯西（Cauchy Augustin-Louis，1789－1857），法国数学家，1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。

他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以《分析教程》（1821年）和《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名。不过他并不是所有的创作都质量很高，因此他还曾被人批评“高产而轻率”，这点倒是与数学王子（高斯）相反。据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方1。

定义定理二维形式 公式变形：

等号成立条件：当且仅当 （即 ）时。

一般形式

等号成立条件： ，或 中有一为零。

上述不等式等同于概述图中的不等式。

一般形式推广

此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m×n矩阵中，各列元素之和的几何平均不小于各行元素的几何平均之和。二维形式是卡尔松不等式n=2时的特殊情况1。

向量形式

推广：

三角形式

等号成立条件： ，且ac+bd≤0（即 ）。

概率论形式

积分形式

一般形式设V是一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记做 ，它具有以下性质：

1、

2、

3、

4、 ，当且仅当 时（α，α)=0

并定义 α 的长度 ，则柯西不等式表述为1：

验证推导二维形式的证明

等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立1。

三角形式的证明

两边开平方得1：

向量形式的证明 （只是对二维的说明）1

积分形式的证明构造一个二次函数，

所以该二次函数与x轴至多一个交点， ，

即

当且仅当 与 线性相关时 等号成立。1

一般形式的证明剩余几种情形都是一般情形的特例，完全可以用一般情形的证明方法来证。1

定理推广复变函数中的柯西不等式若函数 在区域D及其边界上解析， 为D内一点，以 为圆心做圆周 ，只要 及其内部G均被D包含，则有：

其中M是 的最大值， 。

证明：有柯西积分公式可知

所以1

其他不等式其他不等式敬请参见以下词条：

卡尔松不等式

琴生不等式

均值不等式

绝对值不等式

权方和不等式

赫尔德不等式

闵可夫斯基不等式

伯努利不等式

排序不等式

基本不等式

应用例子柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。

巧拆常数证不等式例：设a、b、c为正数且互不相等，求证： 。

证明：将a+b+c移到不等式的左边，化成：

=

由于a、b、c为正数且互不相等，等号取不到。

附用基本不等式证 设 ，则所证不等式等价于

。

因为 。 所以上式显然成立。1

求某些函数最值例：求函数 的最大值。

函数的定义域为[5，9]，y>0，由柯西不等式变形

则 。

函数仅在 ，即 时取到。1

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