在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线（见右图）。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物面和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点或焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。

椭圆在物理，天文和工程方面很常见。例如，我们的太阳系中的每个行星的轨道大约是一个椭圆，其中一个焦点上的行星 - 太阳对的重心。卫星轨道行星和所有其他具有两个天文体的系统也是如此。行星和星星的形状通常被椭球描述。椭圆也出现在平行投影下的圆形图像和透视投影的有界壳体，这是投影锥体与投影平面的简单交点。当水平和垂直运动是具有相同频率的正弦波时，它也是形成最简单的李萨如图。类似的效果导致光学中的光的椭圆偏振。

名叫ἔλλειψις（élleipsis，“遗漏”）由佩尔加的Apollonius在他的Conics中给出，强调了曲线与“应用领域”的联系。

阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中首次提出了今日大家熟知的 ellipse（椭圆）、parabola（抛物线）、hyperbola（双曲线）等与圆锥截线有关的名词，可以说是古希腊几何学的精擘之作。3直到十六、十七世纪之交，开普勒（Kepler）行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，是一种以太阳为其一焦点的椭圆。4

平面内与两定点 、 的距离的和等于常数 （ ）的动点P的轨迹叫做椭圆。

即：

其中两定点 、 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距。 为椭圆的动点。

椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为

椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为

可变为

椭圆平面内到定点 （c,0）的距离和到定直线 ： （ 不在 上）的距离之比为常数 （即离心率 ，0((a^2)-(xp^2))(k^2)+2xpypk+((b^2)-(yp^2));

由根的判别式得：4((xpyp)^2)-4((a^2)-(xp^2))((b^2)-(yp^2))=0;

所以k值有唯一解：k=(-2xpyp)/(2((a^2)-(xp^2)))=-xpyp/((a^2)-(xp^2));

由式1得：(a^2)-(xp^2)=(ayp/b)^2=>k=-(xp(b^2))/(yp(a^2));

m=yp-kxp=(((ypa)^2)+((xpb)^2))/(yp(a^2))=((ab)^2)/(yp(a^2))=(b^2)/yp;

设A0F1、B0F2分别过F1、F2垂直AB于A0、B0；

A0F1:(y-0)=(-1/k)(x+c)=>x+ky+c=0-----式3；

联立式2和式3消去y得：x=-(km+c)/((k^2)+1);

联立式2和式3消去x得：y= (m-kc)/((k^2)+1);

则：A0:(-(km+c)/((k^2)+1),(m-kc)/((k^2)+1));

|A0F1|^2=((m-kc)^2)/((k^2)+1));

同理：B0F2:(y-0)=(-1/k)(x-c);

=>B0:((c-km)/((k^2)+1),(m+kc)/((k^2)+1));

|B0F2|^2=((m+kc)^2)/((k^2)+1));

|PF1|^2=((xp+c)^2)+(yp^2);

|PF2|^2=((xp-c)^2)+(yp^2);

证明:若∠APF1=∠BPF2，则直角三角形A0PF1与直角三角形B0PF2相似；

=>|A0F1|/|PF1|=|B0F2|/|PF2|

=>(|A0F1|^2)/(|PF1|^2)=(|B0F2|^2)/(|PF2|^2)

=>(|PF2|^2)/(|PF1|^2)=(|B0F2|^2)/(|A0F1|^2)

((m+kc)^2)/((m-kc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));-----式4

m+kc=(b^2)/yp-(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)-xpc)(b^2)/(yp(a^2));-----式5

m-kc=(b^2)/yp+(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)+xpc)(b^2)/(yp(a^2));----式6

把式5和式6代入式4得:

(((a^2)-xpc)^2)/(((a^2)+xpc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));

=>(((a^2)-xpc)^2)(((xp+c)^2)+(yp^2))=(((a^2)+xpc)^2)(((xp-c)^2)+(yp^2))

=>(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)+(((a^2)-xpc)^2)(yp^2)=(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)+(((a^2)+xpc)^2)(yp^2)

=>[(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)-(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)]=[(((a^2)+xpc)^2)-(((a^2)-xpc)^2)](yp^2)

=>[((a^2)-xpc)(xp+c)+((a^2)+xpc)(xp-c)][((a^2)-xpc)(xp+c)-((a^2)+xpc)(xp-c)]=4xpc(ayp)^2

=>(2(a^2)xp-2(c^2)xp)(2c(a^2)-2c(xp^2))=4xpc(ayp)^2

=>4xpc(b^2)((a^2)-(xp^2))=4xpc(ayp)^2

=>(b^2)((a^2)-(xp^2))=(ayp)^2

=>(ab)^2=((ayp)^2)+((bxp)^2)

=>((xp^2)/(a^2))+((yp^2)/(b^2))=1等式成立，∠APF1=∠BPF2得证

设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点，则在椭圆焦点三角形F1PF2中，分别称∠F1PF2的内角平分线，外角平分线与椭圆长轴的交点为内点，外点。（如右图中的N,M点为内点，外点）

可以证明以下命题：在椭圆焦点三角形中： （ 1）内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为e（离心率）（2）内心将内点与非焦顶点连线段分成定必e （3）半焦距为内点，外点到椭圆中心距离的比例中项 证明：（1）：在椭圆焦点三角形F1PF2中，设N为内点， 由内角平分线性质和合比性质得 ： NF1 /PF1= NF2/PF2=(NF1+NF2 )/(PF1+PF2)=2C/2a=e (2) ：设 内心为Q,则F1Q是∠F2F1P的内角平分线 ，则在△F1PN中，有QP/PF1=QN/NF1 ∴QN/QP=NF1/PF1 由（1）知NF1 /PF1=e 故QN/QP=e （3）：设M是外点，由外角平分线和内角平分线性质：MF1/MF2=PF1/PF2=NF1/NF2 故（OM-c）/（OM+c）=(c-ON)/(c+ON) 故ON×OM=c²

椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

（其中 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长），或 （其中 分别是椭圆的长轴，短轴的长）。

证： 的面积，由于图形的对称性可知，只要求出第一象限的面积乘以4即可。

在第一象限 , 令

椭圆周长计算公式：L=T(r+R)

T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。

附椭圆系数简表：

关于椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度的证明：

半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的夹角为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到f(c)=r tanα sin(c/r)

r:圆柱半径

α:椭圆所在面与水平面的角度

c:对应的弧长（从某一个交点起往某一个方向移动）

以上为证明简要过程，则椭圆（x*cosα）^2+y^2=r^2的周长与f(c)=r tanα sin(c/r)的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的，而一个周期T=2πr，正好为一个圆的周长。

这是我在工作的时候，偶尔发现的，没有引用，也没有搜索到相关的文献，可能有前辈在我之前就发现了，若有不妥，请谅解。

椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：0|FF'|）的动点P的轨迹叫做椭圆），可演变为z=√x^2-y^2(x>y>0）。Z两端点F、F'为定点。取有韧性切伸缩系数越小越好的线，环绕线段AF'或者FB线段任意一组为长度，以该长度为固定三角形周长，以F、F'　为定点、取构成该三角形上的第三点为动点画弧则构成该椭圆。4

环线长 。根据椭圆的图形特征，采用环线表示动点与焦点间的距离关系，形成统一的圆形环线作图法。具体方法简介：（1）作图工具为笔、大头针、直尺和环形线。（环形线制作：取一段长度（30—50cm）和粗细适中弹性小的软线、一段8mm长细电线空塑料管，软线从塑料管中相向窜过，塑料管将软线夹紧，但用力可以抽动，形成能收缩和放长的环形线）。（2）在作图平面上作出各种圆形的定点和动点。（3）将大头针分别直立、固定在定点上；（4）将符合长度的环形线套在大头针外，画笔由内向外拉直环线，通过调整环线的长度使笔尖刚好落在动点上；（5）将画笔移动一周，即可作出各种圆的图形。

环线作图方法的最大特点，就是把圆形的动点与焦点间的距离关系以环线的方式联系起来，而不受焦点数目的影响，环线内可以容纳任意焦点数目，为探讨3个及其3个以上焦点数目的多焦点圆提供有效方法。环线作图方法，属于连续移动作图法，适合不同大小的圆、椭圆和卵圆等作图。

若用该方法画规定半长轴a和半短轴b的椭圆，则 ，环线长

Ellipse函数

函数功能

该函数用于画一个椭圆，椭圆的中心是限定矩形的中心，使用当前画笔画椭圆，用当前的画刷填充椭圆。

函数原型

BOOL Ellipse(HDC hdc,int nLeftRect,int nTopRect,nRightRect,int nBottomRect).

参数

hdc：设备环境句柄。

nLeftRect：指定限定椭圆左上角的X坐标。

nTopRect：指定限定椭圆左上角的Y坐标。

nRightRect：指定限定椭圆右下角的X坐标。

nBottomRect：指定限定椭圆右下角的Y坐标。3

返回值

如果函数调用成功，返回值非零；如果函数调用失败，返回值是0。

计算机图形学约束

椭圆必须一条直径与x轴平行，另一条直径y轴平行。不满足此条件的几何学椭圆在计算机图形学上视作一般封闭曲线。5

来源: 百度百科