在第二十七届中国科协年会上，2025 年十大前沿科学问题公布，“流形的拓扑和几何分类” 以 01 号的顺位位列其中。这个看似抽象的数学问题，实则承载着物理学突破的关键使命。从牛顿时代的苹果落地到爱因斯坦的时空弯曲，物理学的每一次颠覆性飞跃都依赖数学工具的革新。如今，广义相对论与量子力学的裂痕难以弥合，统一场论成为物理学的 “圣杯”，而流形分类数学或许会为未来物理准备 “万能钥匙”。要预测这场革命，需先回溯数学与物理携手同行的历史，再提出新的数学方法——流形几何 + 矢量力碰撞。

一、问题解读：流形分类的 “本质与细节” 双重密码

流形，是空间的数学抽象，是一种 “局部像欧几里得空间、整体可能弯曲或带孔” 的几何对象。球面、环面是其直观代表，而我们所处的宇宙时空，本质上也是一个 4 维流形。流形的拓扑和几何分类，如同给所有可能的 “空间形态” 建立字典，其核心在于两种互补思路。

拓扑分类，是去繁就简的本质洞察。它聚焦流形 “连续变形不可改变的核心属性”，比如是否带孔、能否定义统一方向、是否有限延展。就像带一个孔的甜甜圈与带柄马克杯，即便形状迥异，只要不剪开、不粘连，通过拉伸弯曲即可相互转化，便属于同一拓扑类。其关键不变量包括基本群、欧拉示性数等，这些决定了空间的 “可能性边界”，例如是否允许宇宙弦存在。

几何分类，是细致入微的特征刻画。它关注可测量的具体属性：表面曲率（平面、球面或马鞍面）、长度角度的度量、求导运算的光滑性。大圆与小圆因尺寸不同几何相异，平面与球面因曲率差异分属不同几何类。几何分类通过度量张量、曲率张量等工具，为空间赋予 “可运算的具体结构”，是连接数学与物理观测的桥梁。

二者结合，构成对空间的完整描述——拓扑定 “本质”，几何定 “表象”。这一分类体系的突破，将为广义相对论的时空建模、量子力学的粒子行为分析提供全新数学基础，更有望填补牛顿与爱因斯坦时代数学工具的先天不足。

二、牛顿 - 库仑时代：统计数学破解 “两体难题”

17 世纪至 18 世纪，物理学的核心挑战是描述 “两个物体间的相互作用”，统计数学成为彼时的核心工具。

牛顿万有引力定律（1687 年）：艾萨克・牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出，任意两物体间的引力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。其核心思路是将天体运动与地面物体运动统一为 “引力作用下的机械运动”，数学表达式为 F=Gm1m2/r²，其中 G 为万有引力常数，r 为两个质量物体 m1 和 m2 之间的距离。这一统计数学模型成功解决了行星公转、苹果落地等两体问题，将开普勒行星运动定律纳入统一框架，奠定了经典力学的基石。

库仑静电力定律（1785 年）：法国物理学家查尔斯・库仑通过扭秤实验证实，真空中两个静止点电荷的静电力遵循同样的平方反比规律，表达式为 F=kq1q2/r²，其中 k 为库仑常数，q1 和 q2 为电荷量。这一发现并非偶然。18 世纪后半叶，牛顿力学的辉煌让科学家们猜测电力与引力遵循相似规律，库仑的实验验证将静电学从定性推向定量，成为电磁学的第一个定量定律。

这两个定律的共同特征是：以统计数学为工具，聚焦 “两体孤立系统”，通过量化 “距离 - 作用强度” 的统计关系，精准预测相互作用结果。但它们无法解释多体系统的复杂关联。当三个及以上物体相互作用时，统计数学的线性框架便难以胜任，这为后续几何数学的登场埋下了伏笔。

三、麦克斯韦 - 爱因斯坦时代：几何数学驾驭 “多体与场”

19 世纪至 20 世纪初，物理学进入 “场论革命”，多体相互作用与时空本质成为核心议题，几何数学取代统计数学成为主导工具。

麦克斯韦方程组（1864 年）：詹姆斯・克拉克・麦克斯韦整合库仑定律、安培定律等成果，提出描述电场与磁场相互转化的方程组。这一理论的革命性在于，它将电磁作用视为 “电磁场” 的弥漫传播，而非超距作用。多个电荷、电流的相互作用，本质是各自激发的电磁场叠加后的几何效应。方程组通过标量场梯度的矢量分析与偏微分方程，构建了电磁场的几何描述，实现了电、磁、光在数学表达上的统一。

爱因斯坦相对论（1905 狭义，1915 广义）：阿尔伯特・爱因斯坦的突破，彻底依赖几何数学的革新。狭义相对论通过洛伦兹变换（坐标几何）解决了光速不变与经典力学的矛盾；广义相对论则以黎曼几何为核心，提出 “引力是时空弯曲的表现”——物质能量分布（能量 - 动量张量 Tμυ）决定时空曲率（爱因斯坦张量 Gμυ），物体沿弯曲时空的最短路径运动，其核心方程 Gμυ=8πG Tμυ/c⁴ 本质是几何与物理的耦合关系。

这一阶段的数学工具实现了两大跨越：一是从 “两体统计” 到 “多体场论” 的拓展，用几何叠加描述复杂相互作用；二是从 “平直空间” 到 “弯曲空间” 的突破，黎曼几何、张量分析等工具让时空本身成为物理研究的对象。但爱因斯坦晚年致力于统一引力与电磁力时发现，现有几何工具仍有局限。长程引力与短程电磁力的本质差异，需要更复杂的数学结构来弥合。

四、当代探索：正交碰撞理论的矢量力相互作用数学新路径

当拓扑 - 几何数学向更深层次发展时，正交碰撞理论的提出为物理学统一提供了矢量数学的新视角 [1]。该理论针对爱因斯坦未能完全认可的万有引力本质问题，以 “矢量力的正交相互作用——正交碰撞” 为核心，重新诠释了时空与物质的运动规律。

其核心思路是：宇宙中所有相互作用均可用两个矢量力的碰撞产生一个新矢量力（Fn=F1×F2）表达，其惯性变速运动包括径向加速膨胀和法向弯曲运动两个分量，矢量力的正交碰撞是物质质量单向转化为能量的根源 [2]。这一理论把狭义相对论和广义相对论统一在一起，不仅能解释水星近日点进动 [3]、引力透镜效应 [4]，还能覆盖更广泛的物理现象：从宇宙大爆炸的遗迹到星体运动，从龙卷风的动力结构到可控核聚变的能量增益，甚至为极端天气预报提供新的动力学依据 [5]，为山脉隆起找到地球早期地质演化的历史根源 [6]。

矢量力正交相互作用的数学描述优势在于，它将 “力的方向与大小” 统一为可运算的矢量，通过正交分解为径向（加速膨胀）与法向（弯曲运动），规避了复杂的曲率计算，为多场统一提供了更简洁的数学框架。正交碰撞理论的简单方程中不存在如规范场论中的参数或常数，与数学上流形分类要求可对应。这与拓扑 - 几何数学形成互补：前者追求 “运算简洁性”，后者追求 “结构完整性”，共同构成了当代物理学的数学双轨。

五、结语：数学如何破解物理统一之谜？

从牛顿 - 库仑的统计数学到麦克斯韦 - 爱因斯坦的几何数学，再到如今拓扑 - 几何与矢量力运算的并行探索，物理学的发展始终遵循 “问题驱动数学革新，数学引领物理突破” 的规律。2025 年 01 号前沿科学问题 “流形的拓扑和几何分类”，正是这一规律的必然产物。它并非单纯的数学游戏，而是为物理学统一理论量身打造的几何运算严密工具。

未来的数学突破，或将呈现 “融合与互补之势”。拓扑 - 几何数学将为统一理论提供 “空间结构框架”，通过流形分类厘清时空与内部自由度（如电荷、色荷）的关联，正如纤维丛理论已在规范场论中实现 “时空底流形 + 内部纤维空间” 的统一描述；矢量力数学则将提供 “作用机制工具”，以正交碰撞动力学和正交分解时空结构等方法简化复杂相互作用的计算。

爱因斯坦曾说：“数学之所以比一切其他科学受到尊重，一个理由是因为它的命题是绝对可靠和无可争辩的。” 当流形分类的数学难题被攻克并与矢量力碰撞运算相结合，物理学或许将迎来超越相对论与量子力学的全新时代。那时，宇宙的基本相互作用将被统一在一个简洁的数学框架下，人类对空间、时间、物质的理解将实现质的飞跃。这场数学与物理的携手革命，已在 2025 年的前沿榜单上拉开序幕。

参考文献

[1] Qian WH (2025) Expanding force in astronomy and updraft force in meteorology. J Modern Physics 16: 267-285.

[2] Qian WH (2022) Orthogonal collision of particles produces new physical state. J Modern Physics 13: 1440-1451.

[3] Qian WH (2023) On the attribution of mercury's perihelion precession. J Applied Mathematics and Physics 11: 1359-1373.

[4] Qian WH (2023) On the physical nature of Einstein's gravitational lensing effect. J High Energy Physics, Gravitation and Cosmology 9: 383-399.

[5] Qian WH, Du J, Leung JC, Li WJ, Wu FF, Zhang BL (2023) Why Are Severe weather and anomalous climate events mostly associated with the orthogonal convergence of airflows? Weather & Climate Extremes 42: (2023) 100633.

[6] Qian WH, Leung J, Zhang B (2023) An orthogonal collision dynamic mechanism of wave-like uplift plateaus in Southern Asia. Open J Geology 13: 828-846.

来源: 钱维宏