数字的起源与发展初探

1引言

在我们的日常生活中，数字化的浪潮席卷了每一个角落。从社交媒体的互动到智能手机的便捷，数字技术已经成为我们不可或缺的伙伴。在这个充满数字的时代，我们能够轻松地与世界各地的人交流，获取丰富的信息资源，甚至在线购物和支付。数字化的魅力已经深深融入我们的生活、工作和娱乐之中，成为现代生活的重要组成部分。【1】

作为一名中国科学技术大学的本科生，我深刻体会到数字技术在学习中的重要性。数字和符号构成了我们探索知识的桥梁，它们不仅帮助我们深入理解基础数学，还锻炼了我们的数学思维能力，让我们认识到数学在各个领域的广泛应用。

在这篇科普作品中，我们将一起追溯数字的起源和发展。从最原始的计数方法，如使用手指、石头和砂粒，到现代复数的广泛应用，数字的演变历程见证了人类智慧的闪光。《万物皆数》一书中详细记载了这段历史，揭示了数字在科学、工程和技术领域的巨大作用。【2】让我们一起探索数字的奥秘，理解它们在数学、物理、化学和计算机科学中的关键角色，以及它们如何成为现代文明不可或缺的基础。通过这次数字之旅，我们不仅能够更深入地理解数字的本质，还能加深对科学研究的好奇与理解。

2数字的诞生

2.1历史回顾

约公元前4000年左右，美索不达米亚平原上乌鲁克城的修建促使了数字的诞生。当时，乌鲁克城的羊群会在夏季被牧羊人赶往北部牧区，为了比较羊群离开与回来时的大小，聪明的主人发明了一种黏土筹码系统。通过将黏土分为多种形状和花纹的筹码，每种筹码对应一只或几只羊，主人可以记录离开时投入收据桶的筹码数量，来计量带走了多少羊。夏季结束时，只需要比对收据桶中的筹码，主人就能判断是否所有的羊都已安全返回。

这种筹码系统存在一个很大的缺陷：由于筹码只由主人看管，牧羊人无法确定是否有无良的羊群主人擅自增加收据桶中的筹码，以索取那些并不存在的羊。为了解决这个问题，双方进行了协商并找到了解决方案：将筹码封存在一个中空、密封的黏土球中，只要不砸碎黏土球，便无法改变其中的筹码数量，双方都可安心。然而，商业活动中需要随时掌握羊群数量，却又不能破坏黏土球的完整性。聪明的主人再次想到了解决方案，他们用切割过的芦苇杆在黏土球的表面画出了内部筹码的形状，就可以在不破坏黏土球的同时，随时掌握内部信息。

随着畜牧业和商业的蓬勃发展，人们发现需要对更多物品进行计数，于是开始在黏土板上使用楔形文字记录牲畜、珠宝或谷物的数量。当时的人们用符号的个数来表示所记录物品的数量，例如要表示7只羊，则画7个表示羊的符号。然而，到公元前三千纪初期，人们终于意识到数字和物品的独立性，开始创造表示数字的符号。当人们需要表示7只羊时，不会再使用7个表示羊的符号，而是会用一个表示7的符号加上一个表示羊的符号。这里数字从被计量物品中解放出来，拥有了属于自己的独特符号，也标志着数字的诞生。这一演变过程为数字发展史打下了里程碑式的基础。

2.2意义探索

数字的诞生标志着人类认知的一次飞跃，数字从绑定于物品和计数的具体概念中解放出来，独立成为一种抽象符号。这种符号的创造，使得人类可以从更高层面去理解和研究数字，如数字的性质、运算规则等等。这也促进了数学的发展，数学不再局限于一种实用的工具，而逐渐变成一门纯粹的学科。这便是数字的起源。

3 认识零和负数

3.1历史回顾

数字的诞生最初源于计数需求，因此当时人们只有正整数的概念。随着社会物质文明的不断发展，零和负数的概念逐渐被人们认识和应用。美索不达米亚人最早发明了“0”的符号，但其并未赋予“0”数字的地位，而是将“0”用作一个表示空位的符号，以完善计数系统。例如数字“250”的记法则不同于数字“25”。

来自印度的婆罗摩笈多在公元7世纪的著作《婆罗摩修正体系》中【3】，第一次将“0”作为一个数字进行了完整描述，并揭示了零的算数性质。相较于美索不达米亚人发明的简单符号，“0”的描述更为完整和系统，具有更广泛的指导意义。他描述了任意数字减去其自身得到的数字为0，并指出任意一个数字加上或减去0，结果依然是这个数字。这样具有深刻意义的描述，使得零最终作为一个数字进入了计数系统，并与其他数字具有相同的地位。

随着数学领域的研究和应用需求的增长，人们意识到数字系统需要包括负数。在《九章算术》中，刘徽描述了一个具有正数和负数的算筹系统，使用红色算筹代表正数，黑色算筹代表负数，并详细解释了这两种数字如何进行算数运算，如：“正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。【4】这是人们在负数意义上迈出的重要一步，但仍将正数与负数看作两个分离的、但可以互相作用的集合。正数与负数之间的统一，是接下来由婆罗摩笈多率先完成的。他建立了一个完整的运算规则表，将负数与正数归为同一个集合，并详细记录了这些新数字的运算规则。

3.2意义探索

随着负数的引入，加法与减法的意义也发生了根本变化。新增一个负数相当于减去一个正数，而减去一个正数等同于加上一个负数。因此，负数的引入使得加法与减法成为统一的运算，扩展了加法的含义，为19世纪和20世纪线性空间的诞生奠定了基础。

4 叩开无理数的大门

4.1历史回顾

在古希腊数学史上，有一段被称为“第一次数学危机”的时期，它与有理数与无理数的概念和问题有着密切的关联。

古希腊数学家毕达哥拉斯和他的追随者坚信，整数和比例关系是创世之神布局的那种合适和完整的东西，其因之物是精神对心的控制，和心对物的控制。他们认为，世界上一切的数字，都可以表示为两个整数相除的形式，也就是人们熟知的有理数。然而，在使用勾股定理描述世界的时候，他们却遭遇了一个超出自己认知范围的问题——实对角线长和正方形边长的比例是无理数，也就是它不能用整数比描述或做任何简单算术。

为了解决这个问题，这些古希腊数学家面临一个巨大的挑战。他们首先采用了精确度的方法，使无限接近一个低于和高于所求解的数字。例如，当二次方程x²＝2无法被任意有理数解决时，他们使用越来越精确的逼近方法，例如2，1.5和1.42等来解决问题。这种方法成为了灵感之源，啓示了人们进一步推进无理数的理论。

到了欧洲的中世纪时期，意大利数学家斐波那契研究了兔子繁殖的数字模型，构造出了著名的斐波那契数列。这个数列前两项为1，后面每一项的值为其前两项之和，即1,1,2,3,5,8,13,21,34,……比较每相邻两个月的兔子数量时，人们发现，随着数字的增大，每两项的比值似乎逐渐趋向一个定值，该定值为1.6180341…。而人们在研究单位正五边形的对角线长度时，也惊奇地发现了这个常数。现在我们知道，该常数为，即著名的黄金分割比。【1】

在研究其他数列收敛性的问题时，数学家们发现，有的数列（或数列的和）收敛于一个整数（或有理数），如芝诺悖论中阿喀琉斯与乌龟赛跑的数列，但有的数列的收敛值很难找到一个有理数表示，如马德哈瓦数列尽管这个序列随着位数的增加逐渐趋近于圆周率π，但人们无法找到一个有理数来表示其值。

上文中的，，的出现，使人们意识到仅仅靠有理数无法表示世界上存在的所有数字。然而，通过对收敛数列的研究，人们似乎意识到可以通过逐渐逼近来得到无理数的值，这种方法被称为极限过程，通过这个过程，人们可以无限趋近于一个无理数，虽然无法完全表示，但可以用足够接近的有理数来近似。这种思想不仅扩展了我们对数字的认识和控制能力，还进一步深化了数学的发展。极限过程被广泛应用于微积分、实分析等领域。

此后，无理数问题的解决不断向我们靠近。在后来的时期，几何学突破成为解决无理数问题的重要手段。特别地，生成几何学通过构造二次方程和立方方程时的过程中，遵循着一定的规律来扩展比例，为解决无理数问题提供了一个新的定量模型。这种方法不仅拓展了比例的定义范围，还为数学家们提供了一种新的思考问题和解决问题的方式。

通过生成几何学的方法，人们能够扩展比例，并得到无理数的定量模型，不再需要局限于简单的整数和有理数。这一突破性成果对之后很多学科和应用都产生了深远的影响，包括物理、工程、计算机科学等领域。因此，无理数问题的解决不仅仅是一个理论问题，更是聪明才智的集成与创新的产物。晚近，随着数学家们的不断研究与发展，人们不仅探索了无理数的定义和性质，还研究了无理数之间的数论。这些研究结果表明，无理数不仅具有优美的几何意义，而且是数论和分析中的重要对象，在数学发展史上极为重要。

4.2意义探索

通过对有理数无法表示的无理数的研究，数学家们逐渐拓展了数学的研究范围，将数字的研究推广到了整个实数域，也从中得到了更深入的数学理解和认识。通过对实数域的研究，数学家们深入发掘了实数域的性质、规律和应用，这不仅丰富了数学理论，同时也为物理学、工程学等实践领域提供了更强大的数学工具和解决方案。

5 走进虚数的世界

5.1历史回顾【1】

公元十六世纪初期，数学界开始流行对三次方程的解法的研究。

最初，博洛尼亚大学的德尔·费罗发现了三次方程的解析式，但由于当时学术界的不良风气，他没有向其他教授公布自己的新发现，只对部分弟子公开了这项秘密。当他去世后，一位得知此秘密的弟子费奥雷压抑不住自己争强好胜的天性，仗着自己掌握解析式的秘密，向很多数学家挑战有关三次方程的问题。不曾想塔尔塔利亚在挑战的压力下独立地发现了三次方程的解析式，赢得了挑战。然而，他也拒绝公布自己的方法，于是事情又回到了原点。最终，一位米兰数学家卡尔达诺通过各种手段，从塔尔塔利亚手中获取了三次方程的解析式，并且将之发表在了《大术》的著作中。因此，三次方程的解析式至今仍被称为“卡当公式”。

当三次方程解析式被公之于众后，当代的数学家对其正确性产生了怀疑，因为在计算某些方程过程中，似乎需要计算负数的平方根。在当时婆罗摩笈多的数学体系下，正数的平方是正数，负数的平方由于负负得正也是正数，何来负数的平方根呢，这些数字看上去根本不存在啊？但是，即便中间过程中出现了这些看似“不存在”的公式，卡当公式依然能够得到正确的结果。

另一位来自博洛尼亚的数学家拉斐尔·邦贝利对负数的平方根很感兴趣，并认为其可能是一种全新的数字。然而，当时人们并没有对虚数进行严格的定义和研究，虚数被认为是一种“不合法”的数字，不受大多数数学家的欢迎。直到18世纪，数学家欧拉才开始正式研究虚数，并在虚数i的定义上做出了大量的工作。他发现虚数可以被用于对复杂数的运算中，出现了类似于实数中的加、减和乘法运算。这启示人们，如果把实数和虚数放在一起，就形成了一种新的数学领域，即复数。

19世纪末20世纪初，德国数学家高斯提出了著名的复数平面和复数函数的概念。在复数平面中，实部作为x轴，虚部作为y轴，复数可以被表示为平面上的点，这使得复数的运算可以用平面上的几何运算来表示和理解。同时，通过对复数函数的研究，高斯和其他数学家发现了很多关于复数的性质和规律，为复数的更深入研究提供了丰富的资料和工具。

5.2意义探索

复数在物理、工程、金融等领域得到了广泛的应用，成为重要的数学工具。其中，复数在物理学中的应用非常广泛，如在电路分析、波浪理论、光学等领域中都有应用。在金融学中，复数被广泛用于金融模型和风险管理。在工程技术中，复数被用于信号处理、数据压缩等领域。虚数的出现并不是完全的偶然，它在一定程度上反映了现实生活中的一些规律和逻辑。实数可以用来描述我们所熟悉的世界，而虚数则是一种对现实世界的扩展和发展，实数和虚数放在一起可以组成更为丰富、多样的数学领域。

6 更广阔的代数空间

6.1历史回顾

在19世纪，即便科学界已经普遍接受了虚数的概念，但在科学界以外，虚数几乎不为人所知。如果说正整数可以表示计数，负数可以表示债务或赤字，有理数可以表示分配，那么说无理数也可以是某种长度或比例，或是数列的极限。但是虚数却与我们的直觉相悖。为了理解虚数的概念，我们必须放弃它们可以代表“数量”的意义，甚至难以赋予它一个可以应用在日常生活中的意义。

数学家们意识到，如果我们接受“负数的平方根存在”这个结论，我们就能创造出一种新型的数字。那么，如果我们人为地补充一些“数字”，并且定义它们的运算性质，是不是就能创造出一些新的代数结构？至此，数字不再只是“经典意义上”的数字，人们可以由一些元素和它们之间的运算构成新的数学结构，运算也不只局限于加减乘除等“经典意义上”的运算。

这种新的认识像是一种解放，我们被实数（或者复数）所限制的手脚得到解放，数学家得到了前所未有的自由，人人都可以创造属于自己的代数理论。然而，一个理论是否真正的有价值，是否值得人们注意，还得取决于一些标准。其一，这个理论需要有使用价值；其二，这个理论必须具有数学上的美感。

人们在新型的数学结构中，寻找相同类型的属性，如对称性、交换性等等。20世纪初期，德国数学家艾米·诺特发表了近50篇代数学论文，推动了代数学的研究。她从多种代数结构中选择了“环、域、群”领域，推动代数进入了抽象的领域。

数字不再只被视为单纯的“数量”，而被抽象成一个具有“结构”的数学对象，其元素之间可以相互作用（进行运算）。这种抽象的数学结构不仅包括了整数、有理数、实数、复数等基本对象，还包括了更为抽象的代数结构，如群、环、域等。这种抽象的数学结构允许我们进行更为深入和广泛的研究，从数学层面构建出更加有力和完整的理论体系，推动了现代数学的发展。

6.2意义探索

这一系列发现强调了抽象和推广的重要性。数字的抽象不仅仅是从计算数字转化为研究数字，更重要的是让我们从具体实例中发现一些普遍性质和规律，为我们探索更为广泛而深入的数学理论提供了基础。这也强调了数学研究精神的重要性，如求真务实、探索创新等，提出了跨学科合作、融合思考等新的科学方法。

7 回顾与展望

在探索数字的起源与发展的旅程中，我们见证了人类思维的飞跃和智慧的积累。从乌鲁克城的黏土筹码到复数平面的抽象概念，数字的每一次演变都伴随着人类对世界的深入理解和对未知的勇敢探索。这不仅是对数字历史的回顾，更是一次思想的洗礼。数字的发展不仅是数学知识的积累，更是人类认知方式的转变。我们看到了数字从具体的物品中解放出来，成为抽象的符号，看到了零和负数的引入，无理数的发现，以及虚数和复数的概念的形成。这些进步不仅推动了数学的发展，也深刻影响了科学的进步和人类文明的进程。

在这个过程中，数学家们的每一次突破都伴随着观念的革新和思维方式的转变。他们不仅拓展了数字的范畴，更是在数字的世界中发现了新的规律和关系。每一次理论的建立和每一次公式的推导，都是对现实世界的抽象和对未知世界的探索。

最终，我们认识到，数字的发展不仅是对数量的认识，更是对世界本质的理解。数字和数学语言成为了我们理解宇宙的语言，它们揭示了自然界中的秩序和和谐。在数字的世界中，我们找到了逻辑和美的完美结合，也找到了人类智慧的无限可能。

因此，当我们回顾数字的起源与发展时，我们不仅仅是在回顾一段历史，更是在回顾人类智慧的成长历程。我们从中学会了如何从具象到抽象，如何从简单到复杂，如何从现实到理想。数字的发展史，就是人类智慧的进化史，也是我们对世界认知的深化史。在未来的日子里，让我们继续沿着这条道路前行，用数字的力量解锁更多的未知，探索更广阔的宇宙。

8 参考文献：

[1]《中国数字经济研究发展报告（2023年）》，2023.4

[2] 米卡埃尔·洛奈《万物皆数》北京：北京联合出版公司，2018.8

[3] 佚名.零的出现 876年 婆罗摩笈多(约598~665年)[J].科学大众:中学生, 2006.

[4]《正负数的概念原来是这样得来的》.新华网。2018.7

来源: 中国科大科协

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