切触几何是微分几何的一个分支，它是辛几何的孪生兄弟。它看似怪异的定义却有着极为自然的起源。本文主要介绍什么是切触几何，从其研究中得到的重要定理来了解切触几何的来龙去脉与重要性质——柔性与刚性；它刚柔相济，很像中国传统文化的太极。而我们会看到这一古老的领域的高维探索，在今天才走上快车道。

撰文 | 周正一（中国科学院数学与系统科学研究院）

定理 3（Lutz，Martinet，1971[7, 8]）

任何三维流形的任何一个近切触结构都存在切触结构代表元。

在执行手术前，通过扰动我们可以要求对象纽结会横截地穿过切触平面，比如上图左侧的 z 轴（我们可以把z轴的±∞附近的切触结构粘合起来）。如果把这个首尾相粘的z-轴的小邻域去掉，那么在边界轮胎面上，切触结构和轮胎面的切空间会交出一个斜率很小的切向量，这被称为特征叶状结构——我们可以把它想象成螺丝上的螺纹。那么在缝合的时候，我们需要将由两侧切触结构诱导的螺纹对齐。不过因为缝合方式的不同，从新粘入的实心轮胎一侧看，这个相应的螺纹可能会有完全不同的斜率。也就是说，我们需要一个具有切触结构的实心轮胎，使得其边界上的螺纹具有任意的斜率。在上图左侧的情形（通过一个坐标变换，它等价于前文的标准切触结构）为例，通过增大以z-轴为轴心的半径，我们能实现越来越多的斜率，但始终无法实现所有的斜率，因为沿着径向切触平面只旋转了半圈。与标准切触结构不同的是，上图右侧的切触结构（被称为过度扭转（overtwisted）切触结构），由于切触平面沿着径向不停地旋转，我们的确可以通过选择合适的半径实现所有的斜率。所以，通过在过度扭转切触空间中选取合适的手术配件，我们就可以在任何手术上实现切触结构。

至此，切触几何已经做好了迎接它的英雄的所有准备。只不过对于这位英雄，命运仍要为他设计一些试炼。

Eliashberg于1946年出生于列宁格勒，师从Rokhlin。早在1970年代，Eliashberg就和他的师兄Gromov一起发展同伦原理。1974年，Gromov移民至美国，而Eliashberg被分配至偏远的瑟克特夫卡尔国立大学，并在那里工作到1979年。随后，Eliashberg因为移民签证被拒绝而成为不被苏联政府信任的人，被迫离开数学工作。他从事了各种临时工作，之后在一家公司从事软件开发直至1987年。早在1979 年，Eliashberg就解决了前文中的Arnold猜想在环面以及其他曲面的情形，他拜托移民美国的Katok将其论文带到美国，这在当时是不被允许的。不幸的是，这个论文的第一版有错误，而修正的版本也被搞混而没有及时被更多人看到。1983年，Conley-Zehnder证明了任意偶数维环面的Arnold猜想，而Eliashberg关于曲面的证明却因为种种原因仍未能发表。在一次访谈中，Eliashberg把前者比作他的世界里的一颗炸弹。不过，他在Arnold猜想上的工作，以及在辛刚性上的进展最终得到了国际数学界的认可，并受邀在1986年的国际数学家大会上作报告。可惜最终未能成行，只能由Mather代为汇报他的工作。在被迫离开数学界的几年里，Eliashberg因为各种限制未能发表什么论文，不过切触几何已经迎来了飞跃式的发展，虽然当时人们并没意识到。1988 年，Eliashberg来到美国，世界终于可以听到他的声音。

先回到刚才的提到的手术描述，如有要求手术缝合进一个足够粗的实心轮胎，我们能在手术后的切触流形中找到一个如下的圆盘——过度扭转圆盘（overtwisted disk）。

Eliashberg把能够找到这样圆盘的三维切触流形称为过度扭转切触流形，并通过证明相应的同伦原理证明了如下的里程碑结果，这揭示了Lutz-Martinet定理（任何三维流形的任何一个近切触结构都存在切触结构代表元）中隐藏的更为深刻的结构。

定理 4（Eliashberg，1989[9]）

在同伦意义下，三维流形上的过度扭转切触结构与近切触结构一一对应。

这般的存在性或者是构造性的性质，往往被称为是切触几何的柔性。除了过度扭转切触结构的同伦原理，切触几何中典型的柔性定理还包括：Giroux的切触开书分解[10]，即将三维切触流形看作一族带边辛曲面的组合（如下图），例如限制性三体问题和Poincaré-Birkhoff不动点定理的关系，以及用于分解切触流形的凸曲面理论（也是由盲人数学家Giroux开创）等。这些结果都在三维切触几何的发展中起到了举足轻重的作用。

开书分解将切触流形分解成一族带有公共边界的辛流形的组合，形如一本打开的书本。

上述柔性定理的高维版本的出现则要晚得多，尽管人们对它们的探索从未停止过。以高维过度扭转为例，通过类比三维的情形，虽然我们早有几个备选定义，并也很快证明了过度扭转流形应该具备的刚性性质（见下文），但具有同伦原理的定义直到2014年才由Borman、Eliashberg和Murphy[11]给出。随后，与之前备选定义的等价性也很快被建立起来。而对于开书分解，虽然高维版本的切触开书存在性已早为人知，但完整的Giroux对应的证明直到2023年才出现在Breen、Honda和Huang[12]的一个预印本中。最后高维凸曲面的存在性也直到2019年才被Honda和Huang[13]建立。

04 切触几何的刚性

关于存在性的基本问题解决之后，接下来自然便是切触结构的分类问题。切触几何的柔性构造给了列举切触结构的一种可能，但仅有柔性，切触几何只能跛足前行，我们还需要有效的不变量来区分切触结构，从而回答分类问题。这些不变量，尤其是超越拓扑不变量——即近切触结构——的不变量，就是所谓的切触几何的刚性。这方面的一个基本结果是：

这个定理的原始证明是通过研究其中扭结的性质得到的。1985年，Gromov开创性地将拟全纯曲线的技术引入到辛几何中，给辛几何带来了一场延续至今的革新。Eliashberg把这种方法引入到切触几何的研究中去，并证明了过度扭转切触流形是不

Bennequin定理的现代证明。我们把不是过度扭转的切触流形被称为紧（tight）切触流形。由于过度扭转的特殊性，切触几何的基本二分法就是：

过度扭转 v.s. 紧。

一般我们会认为紧切触流形的世界是由刚性，或更进一步，由拟全纯曲线所统治。

构，也就是唯一的紧的切触结构。而在高维，我们不再有这样简单的分类；事实上，在任何高于3维的奇数维标准球面的标准近切触结构上，我们都有无穷个不同的紧切触结构。而它们的区分就需要用到下面的刚性不变量了。

1993年，Hofer[15]通过研究切触流形的辛化中的某类伪全纯曲线的存在性，得到了三维过度扭转切触流形的Weinstein猜想的证明。比起这个证明影响更深远的是，Hofer 引入了如今被称为Hofer能量的概念，而我们需要研究的正是具有有限Hofer能量的拟全纯曲线，它们具有良好的渐进性质和紧化性质等等。正是这些准备和铺垫，在2000年，Eliashberg、Givental 和 Hofer[16]提出了一个研究切触几何和辛几何的庞大框架，即所谓的辛场论。

具体而言，通过计数切触流形的辛化，以及辛配边中的带孔拟全纯曲线，定义一个从辛配边范畴到一个代数范畴的函子；也就是给每一个切触流形赋予一个代数对象，给每一个辛配边赋予一个代数对象间的态射。这个代数对象以及其上的各种代数不变量自然地成为了切触流形的不变量。辛场论就像一本字典一样可以把几何问题翻译成代数问题。之前提到的无穷个高维切触球面也是通过辛场论，或相关理论的不变量得到区分。不过无论是代数上，还是分析上，辛场论都不是一个简单的对象，它的基础与应用还在快速的发展中。直到2016年，辛场论里最简单的版本，即切触同调，才分别由Pardon以文[17]及Bao和Honda[18]分别给出完整的定义，他们的文章分别在2019年和2023年正式发表。不过随着虚拟技术（virtual technique) 日新月异的发展，以及我们对辛场论结构、应用和计算的认识加深，相信辛场论的发展会在不久的未来驶入快车道。辛场论之外，我们还有如层论、Heegaard-Floer理论，以及最新的高维Heegaard-Floer理论等在内的刚性理论。它们或直接或间接地与拟全纯曲线理论紧密联系，也都经历着快速的发展。

05 结语

Eliashberg在2015年的综述文章“Recent advances in symplectic flexibility”中[19]提出了“holomorphic curves or nothing”的原则：即在切触几何和辛几何中的结构或现象，要么被同伦原理统治而存在，要么为拟全纯曲线所阻碍。这样的信念虽然并非一个严格陈述且数学上可验证的命题，但足以传递切触几何中最核心的两个主题——柔性和刚性。尽管柔性和刚性在任何一种几何学中都有不同程度的体现，但在这刚柔光谱之中，这两种现象之间往往有着巨大的中间地带。然而在切触几何中，似乎这两极之间有着更为明晰的边界。柔性和刚性的对立构成了切触几何的基本现象，而它们的合作则是切触几何的核心工具。虽然我们对切触几何，尤其是高维切触几何的了解还非常有限，但身处这个时间点，无疑是最好的时代，因为高维切触几何已经完成了双足站立，它正要迈向光明的未来。

参考文献

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[19] Eliashberg, Y., Recent advances in symplectic flexibility. Bull. Am. Math. Soc., New Ser. 52, No. 1, 1-26 (2015).

（编者注：作者为本文起的原标题为“Making Contact with Contact Geometry”。）

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来源: 返朴