无穷小量

如果在x→0时，f(X)=0，则称f(X)=0是当x→0时的无穷小量，简称无穷小。

无穷小就是以数零为极限的变量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。例如，f(x)=(x－1)^2是当x→1时的无穷小量，f(1/n)=是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量（注意：特别小的数和无穷小量不同）。1

同阶无穷小如果lim F(x)=0,lim G(x)=0,且lim F(x)/G(x)=c，c为常数并且c≠0，则称F(x)和 G(x)是同阶无穷小。例如：

计算极限：lim（1-cosx）/x^2在x→0时，得到值为1/2，则说在x→0时，（1-cosx）与x^2是同阶无穷小。

例如，因为

所以，在 x→3 的过程中，x2-9 与 x-3 是同阶无穷小。意思是在x→3 的过程中，(x2-9)→0 与 (x-3)→0的快慢一样。2

无穷小的比较观察无穷小比值的极限：

两个无穷小比值极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度。在x→0 的过程中，x→0 比 3x→0 “快些”，反过来 3x→0 比 x→0 “慢些”，而 sin x→0 与 x→0 “快慢相仿”。

为了应用上的需要，我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时，给出下面的比较定义。

定义，设 α 及 β 都是同一个自变量的变化过程中的无穷小。

如果，就说β是比α高阶的无穷小，记为；

如果，就说β是比α 低阶的无穷小；

如果，就说β与α 是同阶无穷小；

如果，就说β是关于 α 的k阶无穷小；

如果，就说β与α 是等价无穷小，记为 β~α。3