原理简介

第一个常用的公理系统是E.F.F.策梅洛和A.A.弗伦克尔等提出的ZF系统。这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号∈，非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理。如果加上选择公理就构成ZFC系统。利用公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合，还可以给出序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念。

通过元语言，也可公理系统中各公理之间的相容性和独立性，例如Cohen于1960年创立公理集合论中的力迫法，并用来证明ZFC与连续统假设CH独立。1公理集合论发展很快，马丁公理、苏斯林假设等新公理新方法已被广泛使用，组合集合论、描述集合论、大基数、力迫法的研究也持续发展。

详细内容一定要注意的一点：ZF公理系统中，集合的元素都是集合，自然数可用2皮亚诺公理系统表示，如3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}。

ZF公理系统：

(ZF1）外延公理：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。

(ZF2）空集合存在公理：即存在一集合s，它没有元素。

(ZF3）无序对公理：也就是说，任给两个集合x、y，存在第三个集合z，而w∈z当且仅当w=x或者w=y。

注：z = {x, y}, 就是说，如 w∈z, 则 w=x 或 w=y。又名配对公理，取义可由二个集合生成第三个集

合，集合无次序（或说生成的第三个集合无次序），所以叫无序（配）对公理，就一个，如果有次序

就变二个了。

(ZF4）并集公理：也就是说，任给一集合x，我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。

准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使w∈y当且仅当存在z使z∈x且w∈z”。

(ZF5）幂集公理：也就是说，任意的集合x，P（x）也是一集合。

准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使z∈y当且仅当对z的所有元素w，w∈x”。

(ZF6）无穷公理：也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。

准确的定义：“存在一个集合，使得空集是其元素，且对其任意元素x，x∪{x}也是其元素。”

根据皮亚诺公理系统对自然数的描述，此即：存在一个包含所有自然数的集合。

(ZF7）替换公理模式：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合t，当x属于t时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。

(ZF8）正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。

准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。”

注：（ZF3）可以由其他公理导出，所以有些场合不出现这条公理，与之类似的是“子集公理”。

(AC)选择公理：对任意集c存在以c为定义域的选择函数g，使得对c的每个非空元集x，g(x）∈x。

ZF集合公理系统加上AC就成为ZFC公理系统。

注：ZF为Zermelo及Fraenkel

替换公理如果一集合x的元素的元素也都还是x的元素，则称x为传递集。一个集合x是自然数：如果x是传递集，x的全体元素在∈下良序，而且x的每一非空子集对序∈而言有最大元。这样可以把自然数变成了在ZF内可以定义的一种性质，如把0定义作空集═，1定义作0∪{0},2定义作1∪{1}……等等，则0,1,2，…，都是自然数，而且只有这些是自然数。

自然数“x是序数”是指如果集合x是传递集，而且x在∈下良序。令On表示全体序数所成的集合，α，β∈On,α