在这篇文章中，我需要简单介绍一个概念，就是曲率。

在写这部分的时候，我想要找一张配图。我设想的这张配图非常简单。毕竟曲率有非常直观的意义：衡量曲线上某一点的弯曲程度。所以，我觉得我应该可以很容易找到一个对比图。

这个对比图应该是这样的，一边有一个很弯的曲线，其中最弯的那一点算出来，曲率值很高，可能是 6.6；另一边有一个比较缓的曲线，算出来曲率值比较低，比如是 0.25。

两个曲率数字，对应两根曲线上的两个点。一目了然：看，曲率用来衡量曲线上某一点的弯曲程度。

我甚至坚信，在网上一定会有更棒的展示形式，帮助大家来理解到底什么是曲率。

比如，现在曲面屏不是挺火的吗？那我们就可以拿曲面屏来介绍曲率呀。大家知道自己购买的曲面屏，曲率是怎样的吗？这背后，就是数学知识呀！

可惜，上面这张图，来自三星官网。是对自家曲面屏不同型号的一个比较，而不是任何数学相关的文章，用来介绍曲率的。

再比如，现在，科幻小说那么火，来不来就时空曲率穿越。时空曲率穿越的基本原理是什么？就是时空不是平坦的，而是弯曲的呀。

太阳（恒星），中子星，黑洞，造成的时空弯曲，不尽相同。下图从左到右，最低点的曲率将依次增大。曲率越大，时空的收缩越严重，就越可能形成穿越。

好吧，后面这段话，我也不确定我解释得对不对，但关键是，这是一个很好的，用来形象解释曲率是什么，并且激发大家兴趣的例子呀！

可惜，上面这张图，来自一篇科普爱因斯坦的引力场方程的文章，而不是任何数学相关的文章，用来介绍曲率。

我甚至觉得，我应该能找到一个特别酷的动画，在这个动画中，随着曲线的变化，曲率的值在跟着变化。以此来展示：曲率用来衡量曲线上某一点的弯曲程度。

比如，我们在创建 bezeir 曲线的时候，调整控制点的过程中，曲线在不断变化，相应的，这根线上的某一点的曲率，也在不断变化。

可惜，上面这张图，来自一篇介绍 Adobe Illustrator 使用的文章，和曲率没有半毛钱关系。大家自然也看不到某一点曲率的即时计算结果。

通过这些例子，我相信大家能理解，我当时在寻找怎样的图片或者动画。

可是，我找了半天，连一个让我满意的图片都找不到，更不用说动画了。

15 分钟后，我放弃了，我自己快速用 ppt 画了一个。就是这张图：

好粗糙，有木有！？那是因为，这是我用 2 分钟的时间画的。

当然，我自己随手画的，曲线方程是未知的，我也就不能具体计算曲率值了。我也没有时间更精细地完成这张图，毕竟这只是我文章中的一小部分。这是个遗憾。

但我坚信，就这么一个简单的比较，就能让别人更简单清晰，一目了然地了解：什么是曲率，什么叫曲率用来衡量曲线上某一点的弯曲程度。

就这么一个图，我愣是没有找到。

我找到的介绍曲率的文章或者图都是什么样子的呢？

我在 Google 输入 curvature tutorial 的关键字。排名第一的结果，来自某大学的在线教程，介绍曲率。整个网页是这样的：杠杠的上公式，没有任何配图：

排名 2，3，4 的结果都来自可汗学院。其中 2，3 是视频，4 是文字。我想我就找个图，不用看视频了吧。结果文字的配图大概是这样的。

这个配图是什么意思呢？这个配图在讲密切圆。

如果了解曲率的同学应该知道，曲率的具体计算，可以通过密切圆算出来的。所以这个图示，等于是在“形象”地展示，曲率的计算是怎么回事儿。

但是，额？曲率到底是怎么回事儿？用这个图合适吗？

好吧，那我看看可汗学院的视频吧。

嗯，和文字稿没啥区别。也没有不同曲率的比较动画。

咦，Google 还给我推荐了一堆 youtube 视频，介绍曲率。这些视频里，应该会在引入曲率这个概念的时候，有一个不同曲率的比较吧？

抱歉，也没有。

要不我看看维基百科？维基百科只有一张示意图，嗯，他还是在说密切圆，在讲曲率如何计算，而不是为了更直观地说明什么是曲率。

至于中文互联网世界，似乎没有太大的改善：

如果问我中文互联网和英文互联网的区别，那就是在中文互联网，我搜到了好几个非要让我注册之后，加入 vip，首月仅需要 16 元，才能看一个前两页都是公式堆砌的 PPT 的完整版。

额？堆公式就这么了不起吗？

说实话，这是挺让我吃惊的一个事情。因为在我看来，如果讲什么是曲率，在具体聊计算之前，直观地看到曲率的大小和曲线形状之间的关系，是如此直接的一种方式。我觉得，每一个老师，都应该能轻松想到，要搞这样一个对比的。

太抽象，不好联系实际，没关系；

搞个对比，展示一下，总可以吧？

我废了半天劲，在互联网上找到的，最接近我想要的，是这样一个图：

可惜，这个图要说明的是，一个圆，半径越大，曲率越小。它将探讨的范围缩小到了“圆的曲率”上，而不是一般的曲率。

但，我其实就是想要这么一个货，愣是没有。

当然，不排除我搜索的方式不对。但搜了一阵子，换了几组关键词，没有轻易搜到，我觉得也能一定程度说明问题了。

后来我想了想，一个可能的原因是，曲率在高等数学或者微积分教学中，是学习者相对靠后才会学习的一个概念。所以大多数教程会默认，在学习曲率这个概念的时候，大家应该已经对高数有了相当的认识了。

可关键是，我承认，计算曲率的值，需要相当的高数知识的积累；

可理解到底什么是曲率，感性地搞明白曲率的概念，是一个小学生就能搞定的呀！（虽然算不出来）。

为什么大多数教程，不从一个小学生都能理解的点出发，进行介绍呢？

我突然意识到了，很多所谓的“进阶”的知识，在网络上，并没有很优秀的教程阐述。

“进阶知识”的教程，都是给“有基础的人”看的，所以门槛相对高一些。

但关键是，“有基础的人”，也需要轻松易懂的教程呀。

降低学习的思维负担，总是好的。不管你讲的是简单的知识，还是复杂的知识；不管你面向的对象是初学者，还是专家。

我得到了一个结论，就是文章的标题：在知识的普及这件工作上，还大有可为；

不管是科普，还是讲解更专业的知识，看来，都还有很多事情可以做呀。

大家加油！：）

P.S.

题图：据说，时空扭曲是穿越时间的核心，可我却还在找一个简单的曲率图示