小学里经常提出的另一个问题就是0.999999… 到底是等于1还是小于1。这个问题早在2000多年 前就已经被提出了，有着相当长的历史，其始于 芝诺 b 提出的阿基里斯与乌龟的悖论。按照现在网 络上的定义，芝诺可能会被当成“钓鱼的”c— 这类人喜欢在网上提出一个看似无害的问题来让其 他参与者陷入思考。不过，对芝诺来说，则是让一 群哲学家陷入了争论中。在芝诺提出的所有悖论里，最有名的便是阿基里斯和乌龟谁跑得快的悖论。

阿基里斯和乌龟赛跑，乌龟的速度是阿基里斯的1/10，但是阿基里斯决定让乌龟9/10的路程。 他们分别被带到了各自的起点上，“预备，各就位， 跑！”阿基里斯很快就跑到了乌龟出发的地方；即距离终点1/10路程的位置，但是这时乌龟已经慢慢、慢慢多爬了9%的距离 ；阿基里斯又快速跑到 了乌龟现在所在的地方，即99%的路程处，但是乌龟又已经慢慢多爬了0.9%的距离 ；阿基里斯又追了上去，而乌龟又已经爬远了……

现在，我们都清楚一点 ：在真正的比赛中，阿基里斯会比乌龟先到达终点，尽管叙述起来好像不是那么一回事；更坏的是，阿基里斯要想超过乌龟，首先得赶上乌龟。那么阿基里斯会在哪里追上乌龟呢？就算他跑了99.9999…%的路程仍然是落后的，那么它们相遇的地点真的是在终点吗？答案是肯定的，不过这只是一个惯用的说法而已。数学家们花费了数十年来寻求有力的证据证明这个结论，直到理查德·戴德金 a 提出了“分化”的概念 来定义实数。

如果我们对数字进行“切分”，把大于等于1 的数字放到一边，而小于1的放到另一边，那我们就会发现中间什么东西都没有。按照这种划分方法，我们便无法找出这个集合中的最大值。物理学家们称存在一个普朗克长度，这跟我们平时说的长度没有一点关系。要是大家想用另一种方法来理解也可以，设0.999999…=1，分别在两边减去 0.999999…，那么就能得到0=0.000000…。这样一来，大家是不是觉得这个结果更易信服也更好理解了呢？

当然，也可能存在另外一种结果：20世纪70 年代，数学家亚伯拉罕·鲁滨逊 b 提出了一种新的理论—非标准分析学，指出了0.999999…不等于1，两数之间永远存在0.000000…的差距，这个数字不等于0且小于所有的正数。举个例子 ：圆周 和其切线的夹角，这个夹角不是0°，但是一定不 能大于0°，否则这条切线就不存在了。不过，我们讲不讲这个，重要吗？ 还要知道的是，1.000和1并不是完全一样的。在这个例子中，表面上看在小数点后面加了3个没有意义的0，只是单纯表明这个数字精确到了小数点后3位，并且可以肯定的是这个数字比0.999大， 比1.001小。这里面的学问就大了 ：如果我说我的 腰围是1米，大家都能想到我是个超重的胖子，就算我写成99.7厘米，大家也没什么好惊讶的；但要是我说这条水管长1米，那我说的这个数字误差就 不能超过1毫米。大家发现了数学中理论和实际的 差距了吗（1.000和1的对比）？请记住，你们再也不需要在学校做数学考试了！

来源: 《咖啡时间聊数学》