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我想你肯定好奇过,地图上很少有形状规则的国家,那么这些国家的面积是怎么测量出来的呢?特别是在没有计算机技术的年代?

今天就通过一个勺子,来解答你的这个疑问。

关键概念

斧状求积仪

材料和操作

一根木棍

2个不同重量的铁钉

或者一个金属汤勺

制作很简单,只要一根木棍,两端分别钉入2个重量不同的铁钉就可以了,其中一个铁钉要特别重一点,尽量让棍子的重心靠近这个钉子。

做成差不多这样子——

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这个数学工具最有意思的地方在于它的使用过程。

1 把轻的钉子放在图形的边缘上的一点B,重的钉子放在C点。

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2 B沿着图形移动,最后回到起始点。

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3 量一下C的起始和最终位置间的距离 D。量一下棍子本身的长度 L。

图形的面积 ≈ L × D

如果你不想做一个斧状求积仪,用一个比较重的金属勺子也可以代替。

看下面这个捷克的网友 Robert Mařík 用同样的测量方法,计算四分之一个圆的面积。

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按照他的测量,勺子求积仪测得的面积是0.75,和积分法算得的面积(π/4)的误差约为5%。

你还可以利用各种材料制作斧状求积仪——

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瑞士军刀也行——

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原理

美索不达米亚的粘土片和埃及的莎草纸证明,人类很早就开始处理面积的问题。

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美国第16次人口普查(1940 - 1941年)时,工作人员利用求积仪计算面积。

@The U.S. National Archives

大约在2百年前,人类发明出了能准确计算不规则图形面积的方法,它就是求积仪。求积仪是通过画形状边界线的方式计算面积的数学工具,主要分成两种。

第一种求积仪再沿着边界线滑动的过程中,通过积分来计算面积。这类工具常常用来测量不规则的图形,某个城镇的面积,或者用来测量机器的效率。这类求积仪的计算比较准确。

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机械求积仪

@AMS

另一类求积仪虽然也绕着形状边缘画线,但是它对面积仅仅进行了估算。我们制作的斧状求积仪就属于这类。

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20世纪初制造的斧状求积仪

@Bob Otnes

斧状求积仪是丹麦数学家,骑兵军官 Holger Prytz 在1875年发明的。1887年,丹麦哥本哈根的 Cornelius Knudsen 公司就开始制造斧状求积仪。

实际上早在1814年,就有人发明了求积仪,后来瑞士数学家 Jakob Amsler-Laffon 在1854年发明的第一类求积仪已经比较接近现代版本了。

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瑞士数学家 Jakob Amsler-Laffon 在1854年发明的求积仪

但是 Prytz 的版本更加经济方便,虽然比 Amsler 的求积仪要不准确一些。

那么,斧状求积仪是怎么算出图形面积的呢?

从数学上来说,斧状求积仪首先利用曳物线(简单来说,一个物体被另一个物体用棍子拖着走时,领先的那一端画出的曲线)对导数进行了近似,并且利用格林公式(Green’s theorem)来求解面积。

面积 ≈ 重的那一头的位移 × 斧状求积仪的长度。

不过,斧状求积仪是近似求解面积,它存在误差。误差和斧状求积仪的长度,以及你画图时的方向(顺时针还是逆时针)有关。我们看这样一个例子。

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@wabash.edu

假设斧状求积仪绕着椭圆转了一周。椭圆的长径是4,短径是2,斧状求积仪的长度是5,重的那点移动的距离是红色的这一段圆弧。

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红色圆弧的长度是1.59,因此用斧状求积仪计算得到的椭圆面积是:

1.59 × 5 = 7.94。

直接用椭圆的长径和短径和算得的椭圆面积是2π,也就是6.28。误差达到了26%。

这是为什么呢?

这是因为斧状求积仪相对于要计算的面积太短了。如果用长度为10的斧状求积仪来测量,那么得到的面积是7,误差缩小至11%;如果用长度为20的斧状求积仪测量,那么求得的面积是6.62,误差只有5.3%。

实际上,误差和斧状求积仪的长度约成反比,因此用较大的斧状求积仪测量比较小的面积会更准确。

另外,斧状求积仪旋转的方向对测量结果也有影响。如果长度为5的斧状求积仪从同一个起点,用顺时针绕着同样的椭圆旋转,那么测得的面积是6.77,误差是7.8%,比逆时针时要小。

再来看看斧状求积仪沿着其他规则形状得到的轨迹——

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@wabash.edu

测量房间面积的新技能get✔:沿着房间四角爬一圈。

然后用身高乘以 jio 的移动距离。

仅适用于姚明,否则误差太大。

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以前怎么测量国土面积?我天只要勺子和尺子就够了!

图文简介

以前怎么测量国土面积?只要勺子和尺子就够了!